Сборник задач по дифференциальным уравнениям и их приложениям. Нахман А.Д - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

β=τ
α=τ
∗
,)(
;)(
y
y
(3.2)
то приходим к так называемой краевой задаче (3.1) – (3.2). Подобная математическая модель возникает
и в задаче об электрических колебаниях и др.
3.2 В общем случае краевая задача для ЛНУ
)(tfqyypy
=
+
′
+
′
′
(3.3)
с условиями (3.2) может быть решена выделением из общего решения
)()()(
ч2211
tytyCtyCy ++= (3.4)
того частного решения, которое удовлетворяет (3.2). Подставляя
τ
=
t и
∗
τ=t в соотношение (3.4), полу-
чаем систему алгебраических линейных уравнений
τ−β=τ+τ
τ−α=τ+τ
∗∗∗
)()()(
;)()()(
ч2211
ч2211
yyCyC
yyCyC
для нахождения соответствующих значений постоянных
1
C и
2
C , которые (для получения ответа) сле-
дует затем "возвратить" в (3.4).
Пример. Механические колебания материальной точки описываются уравнением
t
еууу
4
178
−
=+
′
+
′′
,
причем положение точки в начальный момент и в момент
1
=
t
заданы:
0)1(,0)0(
=
=
yy .
Определить отклонение )(ty точки от положения равновесия в любой момент времени t.
Решение. Найдем общее решение ЛНУ. Характеристическое уравнение для соответствующего ЛОУ
имеет корни i±−=λ 4
2,1
, поэтому общее решение ЛОУ получаем в виде
)sincos(
21
4
0
tCtCеу
t
+=
−
.
Поскольку контрольное число
4−=S не совпадает ни с одним из корней, то
t
Меу
4
ч
−
= .
Находя
t
Меу
4
ч
4
−
−=
′
,
t
Меу
4
ч
16
−
=
′′
и подставляя результаты в ЛНУ, получаем
tttt
eMeMeMe
4444
173216
−−−−
=+− ,
откуда 1=
М
так что
t
еу
4
ч
−
= . Следовательно, общее решение ЛНУ
)sincos1(
21
4
ч0
tCtCеууу
t
++=+=
−
.
Теперь подставим краевые условия:
0=t
и 0
=
y ,
1
=
t
и 0
=
y :

Страницы