Сборник задач по дифференциальным уравнениям и их приложениям. Нахман А.Д - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

.
;;1
12
21
12
2
0
1
t
t
eCCy
eyey
−
−
+=
===
Далее, из второго уравнения системы
)6(
9
1
yyx +
′
=
.
Поскольку
(
)
tt
eCeCCy
12
2
12
21
12
−−
−=
′
+=
′
,
то
()
tt
eCCeCx
12
21
12
2
6612
9
1
−−
++−= или
(
)
t
eCCx
12
21
3
2
−
−= .
Итак:
(
)
+=
−=
−
−
.
;
3
2
12
21
12
21
t
t
eCCy
eCCx
(4.8)
Замечание. Решение (4.8) можно понимать как совокупность возможных траекторий (законов дви-
жения) материальной точки в плоскости, найденную по известной зависимости (4.7) координат yx
′
′
,
вектора скорости
jyix
′
+
′
=v
ОТ ПЛОСКИХ КООРДИНАТ ЭТОЙ ТОЧКИ.
5 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА
5.1 Рассмотрим произвольную функцию )(xyy
=
, дифференцируемую сколь угодно много раз в
точке
0
x
и некоторой ее окрестности
),(
00
RxRx +−
. Как известно, такую функцию можно представить в
виде суммы многочлена произвольной степени и некоторого "малого" (в указанном интервале) остаточ-
ного члена. Более точно, для функции )(xy справедлива формула Тейлора (разложение по формуле Тей-
лора)
),,()(
!
)(
...)(
!3
)(
)(
!2
)(
)(
!1
)(
)()(
00
0
)(
3
0
0
2
0
0
0
0
0
xxRxx
n
xy
xx
xy
xx
xy
xx
xy
xyxy
n
n
n
+−+
++−
′
′
′
+−
′
′
+−
′
+=
где остаточный член имеет вид
.)1,0(,)(
!)1(
))((
),(
1
0
00
)1(
0
∈θ−
+
−⋅θ+
=
+
+
n
n
n
xx
n
xxxy
xxR
Важен тот факт, что во всех практически интересных случаях выполняется соотношение
0),(
0
→xxR
n
для каждого ),(
00
RxRxx +−∈ , т.е. значения )(xy аппроксимируемы (могут быть приближен-
но заменены) значениями многочлена произвольной степени; читатель, знакомый с теорией степенных

Страницы