Сборник задач по дифференциальным уравнениям и их приложениям. Нахман А.Д - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Теперь мы можем записать первые члены разложения:
...)1(
!3
1
)1(
!2
2
01)(
32
+−+−++−= xxxy
,
т.е.
...)1(
6
1
)1(1)(
32
+−+−+−= xxxy
Задача решена.
6 МЕТОД ЭЙЛЕРА ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
6.1 Рассмотренные ранее методы решения дифференциальных уравнений называются аналитиче-
скими. С помощью этих методов удается получить решение уравнения в виде формул путем аналитиче-
ских преобразований. Однако класс дифференциальных уравнений, которые можно решить аналитиче-
скими методами, весьма узок. Поэтому в большинстве случаев дифференциальные уравнения прихо-
дится решать приближенно, используя приближенные методы или численные методы. Численные мето-
ды не позволяют найти общее решение дифференциального уравнения, поэтому их применяют для ре-
шения краевых задач или задачи Коши.
Наиболее распространенным методом численного решения дифференциальных уравнений является ме-
тод конечных разностей. При этом область непрерывного изменения аргумента заменяется дис-
кретным множеством точек – узлами сетки, а само дифференциальное уравнение заменяется систе-
мой конечно-разностных уравнений. Неизвестная функция заменяется сеточной функцией, т.е.
функцией дискретного аргумента на заданной сетке.
6.2 Рассмотрим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка
=
=
′
.)(
);,(
00
yxy
yxfy
(6.1)
Наиболее простым численным методом решения такой задачи является метод Эйлера. Будем пред-
полагать, что функция ),( yxf в окрестности точки ),(
00
yx удовлетворяет условиям теоремы существова-
ния и единственности. Согласно этой теореме, имеется отрезок ];[
00
δ+δ− xx , на котором существует
единственное решение )(xy задачи (6.1). Пусть точка
k
x принадлежит этому отрезку, т.е.
];[
00
δ+δ−∈ xxx
k
. Метод Эйлера позволяет приближенно найти значение )(
k
xy теоретически с любой на-
перед заданной точностью.
Разделим отрезок ];[
0 k
xx на n равных частей точками
kn
xxxx =,...,,
10
. Длину отрезка ];[
1 ii
xx
−
,
1−
−=
ii
xxh , будем называть шагом вычисления. Приближенные значения решения в точках
i
x обозначим
i
y .
На отрезке ];[
10
xx вместо задачи (6.1) рассмотрим ее конечно-разностное приближение
),(
00
01
yxf
h
yy
=
−
. (6.2)
Здесь производная заменена конечной разностью, а правая часть заменяется значением
),(
00
yxf
, т.е.
предположили, что на отрезке ];[
10
xx приближенно выполнено
h
yy
y
01
−
≈
′
, ),(),(
00
yxfyxf ≈ . С геомет-
рической точки зрения (рис. 1), это означает, что мы искомую интегральную кривую )(xy заменили от-
резком касательной к интегральной кривой в точке
),(
00
yx
. Из формулы (6.2) получаем
),(
0001
yxhfyy += .
y
y
(x)
y
*
(x)

Страницы