Сборник задач по дифференциальным уравнениям и их приложениям. Нахман А.Д - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2) 222,1)1,11,0(1,01,1),(
22
1112
=+⋅+=+= yxhfyy ;
3) 375,1)222,12,0(1,0222,1),(
22
2223
=+⋅+=+= yxhfyy ;
4) 573,1)375,13,0(1,0375,1),(
22
3334
=+⋅+=+= yxhfyy ;
5) 837,1)573,14,0(1,0573,1),(
22
4445
=+⋅+=+= yxhfyy .
Таким образом, получили, что приближенное решение
837,1)( =
k
xy
.
6.3 Погрешность приближенного решения в точке
k
x равна разности между точным значением ис-
комой функции )(
k
xy и значением сеточной функции
k
y . Чем больше число n отрезков, на которые
разбивается исходный отрезок
];[
0 k
xx
, тем более точным является полученное по методу Эйлера реше-
ние. Если проведены две серии расчетов – с числом шагов
n
и числом шагов
n2
, то для повышения
точности решения можно воспользоваться методом Рунге. Для схемы Эйлера формула Рунге имеет вид
)()(2)(
2
*
knknk
xYxYxY −= . (6.4)
Таким образом, решение задачи на двух сетках позволяет повысить точность результатов.
7 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ
1) Доказать, что функция )(xyy = является решением задачи Коши
=
=
′
00
)(
);,(
yxy
yxfy
тогда и только тогда, когда она удовлетворяет интегральному уравнению
∫
+=
x
x
dxyxfxyy
0
),()(
0
(предполагается, что в некоторой окрестности точки
),(
00
yx выполнены условия теоремы существова-
ния и единственности решения задачи Коши).
2) Пусть )(),( ygxf – функции, непрерывные в окрестностях точек
0
x и
0
y соответственно, 0)(
0
=xf ,
0)(
0
=yg
. Доказать, что каждая из функций
0
xx =
и
0
yy =
являются решениями уравнения
0)()( =+ dxygdyxf .
3) С помощью замены переменных
bx
ay
t
+
+
= найти общее решение уравнения вида
)()( xfbx
bx
ay
y
′
+=
+
+
−
′
( ba, – любые постоянные величины, f – произвольная дифференцируемая на всей числовой оси функ-
ция).
4) С помощью замены переменных byxu
+
= найти общее решение уравнения вида
qbyx
pbyxa
y
++
+
+
=
′
)(
( qpba ,,, – любые постоянные ненулевые величины).
5) Найти общее решение уравнения
1))(( =
′′
+ yyfekx
ky

Страницы