Сборник задач по дифференциальным уравнениям и их приложениям. Нахман А.Д - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

( 0≠k – любая постоянная величина, f – произвольная дифференцируемая на всей числовой оси функ-
ция).
6) Составить линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами, решениями которого являются функции
kx
e
−
и
kx
xe
−
( 0
≠
k – любая постоянная вели-
чина).
7) Класс функций вида )(sin
γ
+= xAy представляет собою общее решение некоторого линейного
однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (
A
и
γ
–
произвольные постоянные). Каков вид этого дифференциального уравнения?
8) Известно, что функция
kx
exy
2
= является решением некоторого линейного неоднородного диф-
ференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ( 0≠k – любая постоянная
величина). Каков вид соответствующего ему линейного однородного дифференциального уравнения?
9) Найти общий вид всех решений краевой задачи
=π=
=λ+
′′
0)()0(
;0
2
yy
yy
( λ – произвольное отличное от нуля действительное число).
10) Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений
+=
+=
aybx
dt
dx
byax
dt
dy
;
с постоянными коэффициентами
a и b .
8 ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА
(Число N от 1 до 20 задается преподавателем)
Задание 1. В задачах 1 – 8 считать, что втекающий газ (или жидкость) вследствие перемешивания
равномерно распределяется по всему объему сосуда. Тогда функция y(t), где t – время, y(t) – концентра-
ция вещества (в долях), подчиняется закону )(
0
ycayV −=
′
. Здесь V – объем сосуда, a(t) – скорость по-
ступления вещества в сосуд, с
0
– концентрация данного вещества (в долях) в поступающем растворе.
1 В сосуде объема N л содержится воздушная смесь (80 % азота и 20 % кислорода). В сосуд втека-
ет N / 10 л азота в секунду, который непрерывно перемешивается, и вытекает такое же количество сме-
си. Через какое время в сосуде будет 95 % азота?
2 Сосуд объемом N л содержит газовоздушную смесь (азот и кислород). В сосуд втекает 0,2 л
азота в секунду, который непрерывно перемешивается, и вытекает такое же количество смеси. Через 50
с в сосуде оказалось 0,9N л азота. Какое количество азота первоначально было в сосуде?
3 В сосуде находится N л раствора, содержащего N / 10 кг соли. В сосуд непрерывно подается вода
(N / 20 л/мин), которая перемешивается с имеющимся раствором. Смесь вытекает с той же скоростью.
Сколько соли останется в сосуде через 15 мин?
4 В сосуде находится 40 л раствора, содержащего 1 кг соли. В сосуд непрерывно подается вода (N
л/мин), которая перемешивается с имеющимся раствором. Смесь вытекает с той же скоростью. Через
какое время в сосуде останется 0,5 кг соли?
5 В сосуд, содержащий 50 л воды, непрерывно поступает со скоростью N л/мин раствор, в каждом
литре которого содержится 0,1 кг соли. Поступающий в сосуд раствор перемешивается с водой, и смесь
вытекает из сосуда с той же скоростью. Сколько соли будет в сосуде через 30 мин, если первоначально
соли в сосуде не содержалось?
6 В сосуд, содержащий N л воды, непрерывно поступает со скоростью N / 10 л/мин раствор, в каж-
дом литре которого содержится 0,2 кг соли. Поступающий в сосуд раствор перемешивается с водой, и
смесь вытекает из сосуда с той же скоростью. Через какое время в сосуде окажется N / 10 кг соли?
7 В сосуд, содержащий 30 л воды, непрерывно поступает со скоростью N л/мин раствор, в каждом
литре которого содержится 0,2 кг соли. Поступающий в сосуд раствор перемешивается с водой, и смесь
вытекает из сосуда с той же скоростью. Какое наибольшее количество соли (кг) может оказаться в сосу-
де?

Страницы