Сборник задач по дифференциальным уравнениям и их приложениям. Нахман А.Д - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 1
Аналогично может быть найдено значение сеточной функции в следующем узле
),(
1112
yxhfyy += .
С геометрической точки зрения, это означает, что на отрезке ];[
21
xx искомая интегральная кривая
заменяется отрезком касательной к решению задачи Коши:
=
=
′
11
)(
);,(
yxy
yxfy
(кривая
)(
*
xy на рис. 1).
Дальше рассуждаем по индукции. Если приближенные значения
i
yyy ...,,,
10
известны, то на отрез-
ке ];[
1+ii
xx рассматриваем конечно-разностное уравнение
),(
1
ii
ii
yxf
h
yy
=
−
+
. Решение этого уравнения
),(
1 iiii
yxhfyy
+
=
+
(6.3)
принимаем за приближенное решение задачи (6.1) в точке
1+
=
i
xx . Формула (6.3) и определяет метод
Эйлера. Функция
)1...,,1,0(],[),)(,()(
1
−=∈−+=
+
nixxxxxyxfyxY
iiiiiin
называется ломаной Эйлера. Можно доказать, что при условиях теоремы существования и единственно-
сти последовательность ломаных Эйлера
)}({ xY
n
при
∞
→n равномерно сходится на ];[
0 k
xx к точному
решению задачи (6.1)
)(xy .
Пример. Найти с помощью метода Эйлера приближенное решение задачи Коши
=
+=
′
1)0(
;
22
y
yxy
в точке 5,0=
k
x (вычисления производить с точностью до 0,001). Разбить отрезок ];[
0 k
xx на 5
=
n частей.
Решение. Так как
0
0
=x , 5,0=
k
x ,
5
=
n
, то 1,0
5
05,0
0
=
−
=
−
=
n
xx
h
k
. Из условия задачи 1
0
=y ,
22
),( yxyxf += .
Далее находим
1,0
01
=+= hxx
;
2,0
12
=+= hxx
;
3,0
23
=+= hxx
;
4,0
34
=+= hxx
;
5,0
45
=+= hxx
.
Затем находим значения приближенного решения в узлах:
1) 1,1)10(1,01),(
22
0001
=+⋅+=+= yxhfyy ;

Страницы