Сборник задач по дифференциальным уравнениям и их приложениям. Нахман А.Д - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

рядов, сразу же заметит, что речь идет, фактически, о разложении функции )(xy в ряд Тейлора в окре-
стности точки
0
x . В частности, для 0
0
=x имеем разложение )(xy по формуле Маклорена
)0,(
!
)0(
...
!3
)0(
!2
)0(
!1
)0(
)0()(
)(
32
xRx
n
y
x
y
x
y
x
y
yxy
n
n
n
+++
′′′
+
′′
+
′
+= .
Указанная формула Тейлора (Маклорена) дает возможность записывать первые несколько степен-
ных членов разложения решения )(xyy = задачи Коши:
=
ϕ=
′
,)(
);,(
00
yxy
yxy
что, в свою очередь, позволяет получить первичную информацию о поведении решения задачи, вычис-
лять приближенные значения )(xy и т.п. Такая информация особенно полезна, если не удается полу-
чить запись решения в аналитическом виде, а также если оно получено, но в терминах "неберущихся"
интегралов.
5.2 Чтобы найти члены указанного разложения, следует знать значения коэффициентов разложе-
ния, т.е. числа )(
0
xy , )(
0
xy
′
, )(
0
xy
′
′
, ..., )(
0
)(
xy
n
. Воспользовавшись начальным условием задачи Коши, мы
уже имеем
00
)( yxy = . Подставив в обе части уравнения ),( yxy
ϕ
=
′
значение
0
xx = , вычисляем )(
0
xy
′
. Да-
лее, дифференцируя по переменной
x
обе части уравнения, и снова воспользовавшись начальным усло-
вием, имеем значение
)(
0
xy
′′
. Последовательно повторяя процесс дифференцирования обеих частей по-
лучаемого уравнения, мы можем прийти к значениям (в точке
0
x
) производных любого порядка, в ре-
зультате чего разложение решения по формуле Тейлора будет получено.
Пример. Найти три первых отличных от нуля члена разложения по формуле Тейлора решения
)(xyy = следующей задачи Коши:
−=
−+−=
′
−+
.1)1(
);1(3
11
y
xeey
xy
Решение. Разложение решения задачи по формуле Тейлора в окрестности точки 1
0
=x имеет вид
).1,()1(
!
)1(
...)1(
!3
)1(
)1(
!2
)1(
)1(
!1
)1(
)1()(
)(
32
xRx
n
y
x
y
x
y
x
y
yxy
n
n
n
+−+
++−
′
′
′
+−
′
′
+−
′
+=
Согласно заданному начальному условию имеем 1)1(
−
=
y . Далее, подставляя значения 1
0
== xx и
1)1( −=y в дифференциальное уравнение )1(3
11
−+−=
′
−+
xeey
xy
, получаем
)11(3)1(
1111
−+−=
′
−+−
eey ,
т.е. 0)1( =
′
y . Продифференцируем теперь данное уравнение по переменной
x
; при этом помним, что y
есть функция от
x
, т.е. пользуемся правилом дифференцирования сложной функции: 3
11
+−
′
=
′′
−+ xy
eyey .
В точке 1
0
=x имеем:
230)1(
1111
=+−⋅=
′′
−+−
eey .
Мы уже получили два ненулевых коэффициента (члена) в разложении по формуле Тейлора; оста-
лось найти еще один ненулевой коэффициент. Полученное выше уравнение второго порядка еще раз
дифференцируем по переменной
x
:
1121
)(
−++
−
′′
+
′
=
′′′
xyy
eyeyey . Имеем тогда
12)0()1(
1111211
=−⋅+=
′′′
−+−+−
eeey .

Страницы