Сборник задач по дифференциальным уравнениям и их приложениям. Нахман А.Д - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

.12,24
.
)7/17(ln
)17/2(ln
10
);17/2(ln)7/17(ln1,0
;
17
2
)7/17(ln1,0
≈
−=
=−
=
−
T
T
T
e
T
Ответ: через 24,12 мин тело нагреется до 20 °С.
в) Согласно опытам, в течение года из каждого грамма радия распадается 0,44 мг. Через сколько
лет распадется 50 % имеющегося радия?
Использовать закон радиоактивного распада – количество радиоактивного вещества, распадаю-
щегося в единицу времени, пропорционально количеству этого вещества, имеющемуся в рассматри-
ваемый момент. Тогда функция y(t), где t – время, а y(t) – масса радиоактивного вещества, подчиняет-
ся закону kyy −=
′
, где k – некоторая постоянная.
Решение. По условию задачи 1)0( =y (г),
=
−
=
00044,01)1(y 99956,0
=
(г), 5,0)( =Ty (г). В задаче требу-
ется найти время Т (в годах). Дифференциальное уравнение, описывающее процесс, имеет вид
kyy
−
=
′
.
Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Заменяем y
′
на
dt
dy
:
ky
dt
dy
−= ,
разделяем переменные:
kdt
y
dy
−=
.
Далее интегрируем
∫∫
−= dtk
y
dy
;
Ckty
+
−
=
||ln ;
.
;
kt
ktC
Cey
ey
−
−
=
=
(так как С – произвольная константа, то заменяем
C
e на С).
Находим константы С и k из условий:
=
=
.99956,0)1(
;1)0(
y
y
Подставляя в эти условия найденное решение, получим
=
=
−
;99956,0
;1
0
k
Ce
Ce

Страницы