Сборник задач по дифференциальным уравнениям и их приложениям. Нахман А.Д - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

го уравнения, что легко проверяется подстановкой. Следовательно, 0
=
x и 0=y – частные решения ис-
ходного уравнения.
Ответ: Cy
y
x
x
++−=+ ||ln
2
||ln
2
22
, 0=x , 0
=
y .
Задача 3. Решить дифференциальное уравнение
222
44 yxyx +=
′
.
Решение. Данное уравнение является однородным первого порядка. Поделим обе части уравнения
на
2
x . Получим
2
2
414
x
y
y +=
′
.
Положим
x
y
t =
, тогда
dx
dt
xty +=
′
и
;4144;41)(4
22
t
dx
dt
xtt
dx
dt
xt +=++=+
22
)12(4;4414 −=−+= t
dx
dt
xtt
dx
dt
x
.
Предполагая, что
0≠x и 012 ≠−t , разделим обе части данного уравнения на
2
)12( −tx и умножим на
dx . Получаем
x
dx
t
dt
=
−
2
)12(
4
.
Интегрируя, находим общее решение уравнения
Cx
t
+=
−
− ||ln
12
2
.
Возвращаемся к исходным переменным и, учитывая, что
x
y
t =
, получаем общее решение диффе-
ренциального уравнения:
Cx
xy
x
+=
−
− ||ln
2
2
.
Подставляя в исходное уравнение функцию 0
=
x , получаем, что она не является решением (для нее
не определена y
′
). Из условия 012 =−t следует:
2
x
y =
. Подставляя эту функцию в исходное уравнение,
видим, что она является частным решением дифференциального уравнения.
Ответ: Cx
xy
x
+=
−
− ||ln
2
2
,
2
x
y =
.
Задача 4. Сосуд объемом V = 2 л содержит воздушную смесь (воздух и азот). Из сосуда вытекает
a(t) = 2t л воздушной смеси в минуту, и такое же количество смеси втекает, причем во втекающей смеси
количество азота составляет b(t) = t
3
л за минуту. Определить количество азота (л) в сосуде в момент T =
1 мин, если в момент t = 0 в сосуде содержалось V
0
= 0,1 л азота. Количество азота в сосуде подчиняется
закону
V
y
aby −=
′
.
Решение. Согласно условию задачи, дифференциальное уравнение, описывающее изменение коли-
чества азота в сосуде, имеет вид

Страницы