Сборник задач по дифференциальным уравнениям и их приложениям. Нахман А.Д - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

.
;
2
2
3
3
ttyy
y
tty
=+
′
−=
′
Полученное уравнение является линейным, следовательно, решаем его с помощью подстановки
Бернулли
.);()( vuvuytvtuy
′
+
′
=
′
=
Получаем уравнение
.)(
;
3
3
ttvvuvu
ttuvvuvu
=+
′
+
′
=+
′
+
′
Положим
0=+
′
tvv
, тогда
3
tvu =
′
.
Решаем последовательно, разделяя переменные, полученные уравнения
а) dttvdvtv
dt
dv
−==+ ;0 ;
tdt
v
dv
−= ;
dtt
v
dv
∫∫
−= , или
2
ln
2
t
v −=
,
откуда
2/
2
t
ev
−
= (выбрана одна из первообразных v(t)).
б)
3
tvu =
′
или
32/
2
te
dt
du
t
=
−
;
dtetdu
t 2/3
2
= ;
∫∫
= dtetdu
t 2/3
2
.
Представляем интеграл в левой части в виде
∫
dttet
t 2/2
2
и интегрируем по частям:
.
2
;2
;;
2/
2
2/2/
2/2
222
2
ttt
t
e
t
dedtteVtdtdU
dttedVtU
∫∫
====
==
Следовательно:
,)2(2
2
22
22/2/2/2
2
2/2/22/2/22/2
222
22222
CteCeet
t
deettdteetdttet
ttt
ttttt
+−=+−=
=−=−=
∫∫∫
т.е. Cteu
t
+−= )2(
22/
2
(в отличие от случая а) здесь ищется общее решение).
Поскольку uvy = , то ответ имеет вид
2/22/22/
222
2))2((
ttt
CeteCtey
−−
+−=+−= .
Из начального условия 1,0)0(
0
== Vy получаем
1,2;201,0
02
=+−= CCe .
Следовательно, решение задачи имеет вид

Страницы