Эконометрика: Текст лекций. Нарбут М.А - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

26
что случайная величина X (t) является непрерывной. Тогда существует
плотность вероятности f (x, t), по которой определяется вероятность
случайного события
(())(,)
b
a
Pa Xt b f xtd
x
<<=
∫
.
Рассмотрим также математическое ожидание
() () ( ,)tEXt xfxtd
x
∞
−∞
µ= =
∫
(9.1)
и дисперсию
22
() () [ ()] ( ,)tDXt x tfxtd
x
∞
−∞
σ= = −µ
∫
. (9.2)
Если плотность вероятности f(x, t)=f(x) не зависит от времени, то
математическое ожидание и дисперсия будут постоянными величинами.
Рассмотрим два произвольных момента времени t
1
и t
2
. Случай-
ные величины X(t
1
) и X(t
2
) характеризуются плотностью совместного
распределения вероятностей f(x
1
,t
1
;x
2
,t
2
). При этом ковариация
cov(X(t
1
),X(t
2
)) вычисляется по формуле
12 1 1 2 2
112 2 112212
c
ov( ( ), ( )) ( ( ) ( ))( ( ) ( ))
( ( ))( ( )) ( , ; , )
Xt Xt EXt t Xt t
xtxtfxtxtdxdx
∞∞
−∞ −∞
=−
µ
−
µ
=
=−µ−µ
∫∫
.
Аналогично рассматривается значение случайного процесса X(t) в
трех, четырех и более точках t
k
, при этом вводится многомерная плот-
ность распределения f(x
1
,t
1
; x
2
,t
2
; …,x
m
,t
m
,).
Случайный процесс называется стационарным, если при сдвиге
по времени на произвольную величину T функция распределения (а
значит и плотность) не изменится. В этом случае плотность f(x, t) не
зависит от времени: f(x,t) = f(x,t+T) = f(x,0), а двумерная плотность
f(x
1
,t
1
; x
2
,t
2
) зависит от разности τ = t
1
–t
2
. Введя автокорреляцион-
ную функцию случайного процесса K(t)=cov(X(t),X(t+t)), можно до-
казать, что для нее выполняются следующие свойства:
1) K(–τ) = K(τ);

Страницы