Составители:
Рубрика:
34
3.2. Доверительные интервалы
Введем случайную величину
xa
n
−
ξ=
σ
. (13.1)
Нетрудно проверить, что ξ ∈ N(0,1), вследствие чего
2
/2
1
()
2
k
x
k
Pk ed
x
−
−
ξ< =
π
∫
.
Полагая
()Pkξ< =α
, получим после элементарных преобразований,
что с вероятностью
α
выполняется неравенство
xk axk
n
n
σσ
−<<+
. (13.2)
Интервал
(
,
)
xk xk
nn
σσ
−+
называется доверительным интерва-
лом, отвечающим доверительной вероятности α. Если, к примеру, k = 2,
доверительная вероятность α=0,955. Значению k = 3 отвечает вероят-
ность α=0,997 (правило «трех сигм»). Но для использования указан-
ных доверительных интервалов на практике нужно знать стандартное
отклонение σ. Если значение σ неизвестно, для его оценки использует-
ся величина
x
S
. В этом случае можно ввести случайную величину
1
xx
xa xa
nn
SS
−−
η= = −
,
которая имеет распределение Стьюдента с n–1 степенью свободы [3].
Не выписывая здесь соответствующей функции распределения, приве-
дем несколько значений доверительной вероятности α(k,n), отвечаю-
щих доверительному интервалу
xx
SS
xk axk
n
n
−<<+
. (13.3)
При k = 2 и n = 3 имеем α = 0,817; при k = 2 и n = 7 вероятность α = 0,908;
α(3,3) = 0,905; α(3,5) = 0,96. С ростом n различие между распределением
Стьюдента и гауссовым распределением становится меньше, при n=20
этим различием в большинстве случаев можно пренебречь.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- …
- следующая ›
- последняя »
