Составители:
Рубрика:
35
Регрессионные модели мы строим по данным наблюдениям (x
i
,y
i
),
i=1, 2,..., n. Пусть значения x = x
∗
не совпадают с x
i
. Чему будет
равна величина y = y
∗
и с какой погрешностью ее можно найти?
Попытаемся ответить на этот вопрос для случая парной линейной
регрессии с нулевым свободным членом
y
i
=
bx
i
+ ε
i
,
где ε
i
∈ N(0,σ), i=1, 2,..., n.
Параметр b оцениваем методом наименьших квадратов:
Σ
ε
i
2
=
Σ
(bx
i
– y
i
)
2
→ min,
Σ
(bx
i
– y
i
)x
i
= 0,
b
=
2
.
ii
i
xy
x
∑
∑
(13.4)
Из формулы (13.4) следует, что оценка
b
является гауссовой случай-
ной величиной с математическим ожиданием
E
b
=
2
i
i
i
xE
y
x
∑
∑
=
2
i
i
i
xby
x
∑
∑
= b.
(оценка несмещенная) и дисперсией
D
b
=
2
22
22 2
1
.
()
i
ii
x
xx
σ
σ=
∑
∑∑
(13.5)
Величина σ
2
, как правило, неизвестна и ее следует оценить. Для
этого составим сумму квадратов ошибок
Σ
ε
i
2
=
Σ
(bx
i
– y
i
)
2
=
Σ
(bx
i
–
b
x
i
+
b
x
i
– y
i
)
2
=
=
Σ
x
i
2
(b–
b
)
2
+
Σ
(
b
x
i
–y
i
)
2
+ 2
Σ
x
i
(b–
b
)(
b
x
i
– y
i
). (13.6)
Математическое ожидание E
Σ
ε
i
2
=
Σ
Еε
i
2
= nσ
2
.
Вычисление математического ожидания в правой части равенства
(13.6) дает
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »
