Составители:
Рубрика:
38
где a и b – точные значения слагаемых. Для вычисления абсолютной
погрешности суммы S оценим разность
()()()
x
y
xy ab xa yb xa yb+− + = − + − ≤−+ −≤ε+ε
.
Ясно, что в качестве предельной абсолютной погрешности суммы
можно принять величину
ε
S
= ε
x
+ε
y
. (14.1)
Аналогично проверяется, что абсолютная погрешность разности двух
чисел d = x – y равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и
вычитаемого: ε
d
= ε
x
+ ε
y
. Заметим, что если числа x и y мало отличаются
между собой, относительная погрешность их разности δ
d
= ε
d
/ |x – y|
может оказаться весьма большой.
При вычислении суммы S=x
1
+x
2
+…+x
n
большого числа слагаемых,
имеющих одинаковую абсолютную погрешность ε, в соответствии с
формулой (14.1) имеем
ε
S
= nε. (14.2)
При n>>1 величина ε
S
может оказаться довольно большой. Но эта
оценка получается в предположении, что ошибки всех слагаемых мак-
симальны и имеют одинаковый знак, что представляется мало вероят-
ным. Более естественным выглядит предположение, что ошибка ε явля-
ется случайной и распределена по нормальному закону
2
(0,
)
x
Nε∈ σ
,
причем ошибки отдельных слагаемых являются независимыми случай-
ными величинами. По правилу вычисления дисперсии суммы незави-
симых случайных величин находим, что:
i
DS nD
x
=
или
2
2
S
x
nσ=σ
, так что
Sx
n
σ=σ
.
При больших n (например, n=100) статистическая оценка дает зна-
чительно меньшее значение, чем предельная (14.2). Напомним, что от-
клонение случайной величины S от истинного значения более чем на
2σ
S
возможно с вероятностью 0,045 (4,5%), а на 3σ
S
– с вероятностью
0,003 или 0,3%.
Для вычисления погрешности произведения и частного двух поло-
жительных чисел x, y рассмотрим сначала общий случай функции двух
переменных u=f(x,y) (аналогично рассматривается случай функций мно-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- …
- следующая ›
- последняя »
