ВУЗ:
Составители:
131
мерность D>1.
Построение кривой Кох начинается с прямолинейного отрезка еди-
ничной длины L(l)=1. Этот исходный отрезок называется затравкой (или
нулевым поколением кривой Кох) и может быть заменен стороной какого-
нибудь многоугольника. Далее, каждое звено затравки заменяется
образующим элементом, обозначенным на рис. 3.35 через п=1. Тем самым
получаем первое поколение – кривую из четырех прямолинейных
звеньев, каждое длиной по 1/3. Длина всей кривой 1-го поколения
составляет величину L(l/3)=4/3 (то есть
1
3
1
затравки). Следующее
поколение получается при замене каждого прямолинейного звена
полученной фигуры уменьшенным образующим элементом. В результате
получается кривая второго поколения, состоящая из N=4
2
=16 звеньев,
каждое длиной δ=З
-2
=1/9. Длина кривой второго поколения равна
L(l/9)=(4/3)
2
=16/9.
И так далее.
Кривая n-го поколения при любом конечном п называется
предфракталом. Проследим за тем, как получается выражение для D.
Длина предфрактала п-го поколения равна n длин 1-го поколения, то
есть, определяется формулой:
(3.42)
Длина каждого звена составляет δ=3
-n
. Замечая, что число поколений n
представимо в виде n=–lnδ/ln3, запишем длину предфрактала в виде
(3.43)
В (3.35) D=ln4/ln3~1,2628. Число сегментов равно
N(δ)=δ
-D
. (3.44)
Как будет показано далее, D – фрактальная размерность триадной
кривой Кох. Прежде всего, заметим, что построение Кох позволяет в
любом поколении получать нормальную кривую конечной длины, то есть,
предфрактал. При увеличении числа поколений величина δ стремится к
нулю и длина кривой расходится. Ясно, что множество точек, которое
получается как предел бесконечно большого числа итераций процедуры
Кох, не является такой кривой, для которой длина является удобной мерой.
Но если выбрать пробную функцию h(δ)=δ
d
, то получим d-меру
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- …
- следующая ›
- последняя »
