Синергетика для инженеров. Никитенков Н.Н - 134 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

132
(3.45)
Из последнего соотношения видно, что мера M
d
остается конечной и
равна единице только в том случае, если размерность d, входящая в
пробную функцию h(δ)=δ
d
, равна D. Отсюда следует, что критическая
размерность и, следовательно, размерность Хаусдорфа-Безиковича для
триадной кривой Кох равна D=ln4/ln3. На каждой стадии построения
предфракталы Кох могут быть растянуты в прямую линию, поэтому
топологическая размерность триадной кривой Кох равна D
Т
=1. Так как
размерность Хаусдорфа-Безиковича D для кривой Кох больше ее
топологической размерности D
T
, заключаем, что кривая Кох есть
фрактальное множество с фрактальной размерностью D = ln4/ln3.
3.7.4. Нелинейные фракталы
Одним из первых описал нелинейные фракталы французский математик
Гастон Жюлиа еще в 1918 году. Но в его работе отсутствовали
изображения исследованных им множеств и термин фрактал. В наше время
компьютеры позволили получить изображения множеств Жюлиа, которые
вместе с множествами Мандельброта являются ныне наиболее
известными квадратичными фрактальными структурами. Оба типа
фракталов возникают в результате реализации на комплексной плоскости
самого простого нелинейного алгоритма:
(3.46)
который разбивает комплексную плоскость на «зоны влияния». Любая
точка z
0
в данном динамическом процессе либо притягивается неким
центром — аттрактором (конечным или бесконечным), либо не может
принять определенного решения и остается блуждать на границе зон
влияния аттракторов. Если в итерационном процессе (3.46) фиксировать c
и изменять ,
TO
получается набор множеств Жюлиа. Если фиксировать
= 0 и изменять с, то получаем множество Мандельброта.
Очевидно, что вид множества Жюлиа зависит от выбора параметра с. В
силу нелинейности (малым изменениям параметра с соответствуют
большие изменения формы множества Жюлиа) зависимость эта очень
сильна. В самом деле, при с = 0 процесс имеет два аттрактора – нуль и
бесконечность, границей между которыми является простая окружность.
Но уже при незначительных изменениях параметра с гладкая окружность
становится бесконечно изломанной и ее дальнейшая эволюция приводит к
смыканию границ и выделению бесконечного числа соединенных
уменьшающихся структур, напоминающих то снежинки, то хвосты

Страницы