ВУЗ:
Составители:
36
Теорема Лиувилля определяет главный инвариант фазового
пространства – фазовый объем – и связывает с ним гамильтоновский
характер системы.
Эта связь, однако, действует только в одном направлении: существуют
и негамильтоновы динамические системы, сохраняющие фазовый объем,
например система, описываемая одним уравнением
. В таких
системах нет структурных элементов, обладающих свойством
асимптотической устойчивости при t→∞ (либо аналогичным свойством
при t→–∞). Устойчивость – это способность систем слабо менять своё
состояние под действием возмущений.
Уравнение непрерывности выражает закон сохранения числа частиц в
фазовом пространстве. Если рассматривать временную эволюцию не
точки в фазовом пространстве, а элемента фазового объема, то по
характеру деформации границы фазового объема можно судить об
устойчивости или неустойчивости движения (рис. 2.3). При таком подходе
используется функция распределения частиц в фазовом пространстве f(р,
q, t) – аналог функции распределения Максвелла для идеального газа,
которая удовлетворяет условию нормировки:
(2.8)
Уравнение непрерывности связывает функцию распределения f(р, q, t) с
вектором тока фазовой жидкости
путем соотношения:
(2.9)
Очевидно, что соотношение (2.9) не что иное, как дифференциальная
форма закона сохранения числа частиц в фазовом пространстве.
Для гамильтоновых систем условие несжимаемости (2.6) приводит
соотношение (2.9) к уравнению Лиувилля:
Рис. 2
.3.
Схема изменения элемента фазового объема при устойчивом (а) и
неустойчивом (б) движении.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- …
- следующая ›
- последняя »
