Синергетика для инженеров. Никитенков Н.Н - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

37
(2.10)
Здесь подразумевается, что
величины
q
&
и
p
&
выражены с
помощью (2.5) как функции величин
q, p, t.
Уравнение Лиувилля (2.10), так
же как и уравнения движения (2.5),
обратимо во времени. Среди
множества возможных траекторий можно предположить существование
таких, которые имеют асимптотически устойчивое положение равновесия
или асимптотически устойчивый предельный цикл. Тем самым, теорема
Лиувилля, исключает возможность траекторий, подобных показанным на
рис. 2.4.
Совокупность всевозможных фазовых траекторий образует фазовый
портрет динамической системы. Изучение фазовых портретов как
способа геометрического представления решений обыкновенных
дифференциальных уравнений было начато А. Пуанкаре в ХIХ веке.
Поясним понятие фазового портрета на примере систем с одной степенью
свободы, относящихся к числу простейших систем. Пусть гамильтониан
системы имеет форму:
(2.11)
то есть, не зависит от времени, тогда энергия системы Е=Н(р, q) является
интегралом движения (E = inv). Это позволяет в одномерном случае (N=1)
записать:
(2.12)
и, проинтегрировав (2.12), найти траекторию: q = q(t; q
0
, p
0
)=q(t; q
0
, E), где
Е = H(p
0
, q
0
).
Качественный анализ возможных
видов траекторий системы можно,
однако, произвести, не интегрируя
выражения (2.12), а воспользовавшись
наличием инварианта E. В зависимости
от структуры потенциала V(q) имеются
«захваченные» в потенциальную яму
траектории частиц и «пролетные»
траектории. Захваченным траекториям
соответствует финитное движение
Рис. 2.5.
Потенциал V(q)
и фазовый
портрет простейшей системы; С
1
и С
2
–
Рис. 2.4.
Схемы невозможных, в соответ-
ствии с теоремой Лиувилля, траекторий

Страницы