Синергетика для инженеров. Никитенков Н.Н - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

42
x(0)=0, имеет два решения, x(t)=0 и x(t)= , однако f(x) в
точке х=0 не дифференцируема и условия теоремы единственности
нарушены.
Особые или неподвижные точки х* системы дифференциальных
уравнений
(т.е. такие точки, в которых f(x*)=0) не являются
исключением. Функция x(t)=х* является решением, а другие траектории
обычно бесконечно долго стремятся к этой точке. Так, в уравнении
= –х,
х(0)=х
о
, неподвижная точка х*=0, решение
однако ни в какой конечный момент времени Т функция х(Т)≠0. В
уравнении
=х, х(0)=x
0
, напротив, траектории могут покидать окрестность
особой точки за сколь угодно большое время.
Отметим, что поведение динамической системы вблизи особых точек, как
правило, проще, чем поведение при произвольно взятых начальных данных.
На рисунке (рис. 2.7) это выглядит таким образом, что с течением времени
траектории, выходящие из различных начальных точек, стремятся собраться
в некоторых выделенных, сравнительно небольших областях фазового
пространства, которые затем уже не покидают.
Точку или некоторое множество точек в фазовом пространстве, к
которому стремятся фазовые траектории динамической системы с
течением времени называют аттрактором (от англ. to attract –
притягивать, привлекать). При этом, каковы бы не были начальные
значения переменных системы, по мере развития динамического процесса,
они будут стремиться к одним и тем же значениям или множествам
значений – аттракторам. То есть, аттракторы – это геометрические
структуры, характеризующие поведение системы в фазовом пространстве
по прошествии длительного времени.
Область, откуда траектории стремятся к аттрактору, называют
областью притяжения аттрактора или бассейном притяжения.
Таким образом, поведение динамической системы можно разделить на
два этапа: переходное поведение, пока траектория стремится к аттрактору,
и асимптотическое, когда траектория находится на самом аттракторе или
настолько близко к нему, что расстоянием можно пренебречь. Поскольку
переходное поведение временно, а асимптотическое длится бесконечно
долго, внимание исследователей обычно сосредоточено именно на
Рис. 2.7.
При различных начальных данных
решение дифференциальных уравнений
выходит на области притяжения различных
типов. На рисунке 1 – область притяжения
неподвижной точки; 2 – цикла; 3 – более
сложного аттрактора.

Страницы