ВУЗ:
Составители:
47
Во-вторых, движение обычно оказывается локально неустойчивым: любые
близкие траектории расходятся, не покидая при этом аттрактора. Движение
оказывается
неустойчивым по
Ляпунову, в отличие от
циклов и торов, где оно
устойчиво (напомним,
что решение x(t) назы-
вается устойчивым по
Ляпунову, если для
любого ε найдется δ,
такое что для любого
решения
, такого что
t > 0; если к тому же
−ݔ
→Ͳ при , то решение называют асимптотически устой-чивым).
Расстояние l между траекториями при малых l в среднем обычно
экспоненци-ально увеличивается, l~ехр(λt), где λ>0 называется старшим
показателем Ляпунова (на самом деле показателей несколько, но самый
важный среди них – наибольший). Чем больше λ, тем более хаотичным
выглядит движение. На рис. 2.16 приведена зависимость расстояния между
двумя траекториями отображения Хенона, первоначально очень близкими.
Точками на рисунке показано изменение расстояния r между двумя первоначально
очень близкими траекториями (r=10
-5
) в начальный момент. Сплошная линия
показывает эволюцию бесконечно близкой траектории (нормировка выбрана
так, чтобы на первых итерациях она совпадала с предыдущим случаем). Штриховая
линия показывает среднюю скорость расходимости бесконечно близких
траекторий r=r
0
ехр(λt), где λ=0,418... – старший показатель Ляпунова, время
изменяется дискретно, t=п. Аттракторы, динамика которых характеризуется
положительным показателем Ляпунова, называют хаотическими.
Рис. 2. 15. Пояснение фрактальной структуры
аттрактора Хенона.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- …
- следующая ›
- последняя »
