Синергетика для инженеров. Никитенков Н.Н - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

49
2.3.2. Странный аттрактор Лоренца.
В диссипативных системах при стремлении траектории к аттрактору
происходит сжатие фазового объёма. Фазовый объем сжимается: а) в
точку, если аттрактор – узел или фокус; б) в замкнутую траекторию,
соответствующую устойчивому периодическому движению, если
аттрактор – предельный цикл; в) в тор, соответствующий устойчивому
квазипериодическому движению, если аттрактор – двумерный тор. В
трёхмерном фазовом пространстве существуют ещё и непериодические
аттракторы. Это, отличные от стационарной точки, предельного цикла и
двумерного тора, так называемые странные аттракторы. При
стремлении системы к странному аттрактору также происходит сжатие
фазового объёма, приводящее к тому, что фазовые траектории с течением
времени стягиваются к предельному множеству и, попав в область,
занятую таким аттрактором, остаются в ней навсегда. Однако на самом
аттракторе движение является неустойчивым. Иначе говоря, поведение
системы со странным аттрактором характеризуется сочетанием
глобального сжатия фазового объёма с локальной неустойчивостью
фазовых траекторий. Фазовые траектории странного аттрактора очень
чувствительны к начальным данным. Сочетание сильной зависимости от
начальных данных с приближённым их значением обусловливает
невозможность точных долговременных прогнозов относительно
эволюции систем со странным аттрактором и существование так
называемого горизонта прогноза – характерного времени, в течение
которого может быть предсказано поведение системы.
Одной из таких систем, поведение которой описывается странным
аттрактором, является атмосфера Земли. В 1963 году метеоролог Э.
Лоренц, моделируя динамику атмосферы, получил нелинейную систему
уравнений с тремя переменными, сохраняющую много характерных
особенностей исходной системы. Эту модель рассмотрим здесь более
подробно, так как она оказалась первым наглядным примером трёхмерной
системы, обладающей странным аттрактором.
Из анализа именно этой системы Лоренц сделал вывод о
существовании горизонта прогноза для систем, которые описываются с
помощью странных аттракторов и, следовательно, о невозможности
долговременного предсказания погоды. В метеорологии, как выяснилось в
дальнейшем, горизонт прогноза не может превышать 2-3-х недель. И он не
зависит от возможностей используемых компьютеров, с помощью которых
ведется обработка данных, а имеет принципиальный характер.
Система уравнений Лоренца — это трехмерная система нелинейных
автономных дифференциальных уравнений первого порядка, полученных

Страницы