ВУЗ:
Составители:
50
путем упрощения сложных дифференциальных уравнений, описывающих
формирование неустойчивости Бенара (см. ячейки Бенара, разд. 3.1.1):
= –σx
1
+ σx
2
,
= –x
1
x
3
+ rx
1
– x
2
, (2.18)
= x
1
x
2
– bx
3
.
Здесь σ, b – безразмерные константы, r – управляющий параметр,
пропорциональный разности температур ∆Т в случае неустойчивости
Бенара. В результате численного интегрирования системы (2.18) Э. Лоренц
обнаружил, что при σ = 10, b = 8/3 и r = 28 у этой динамической системы, с
одной стороны, наблюдается хаотическое, нерегулярное поведение всех
траекторий (рис. 2.17), а, с другой стороны, все траектории при t→+∞
притягиваются к аттрактору. Такое поведение решений ассоциируется с
так называемыми турбулентными (беспорядочными, хаотическими)
течениями жидкости.
Попытаемся описать имеющиеся представления о появлении и
структуре аттрактора в системе Лоренца. Зафиксируем в (2.18) значения
σ=10, b=8/3 и будем увеличивать r, начиная с нуля. При r<1 система
Лоренца имеет асимптотически устойчивую в целом стационарную точку
– начало координат. К ней притягиваются все траектории (рис. 2
͘
18).
Отметим, что начальная стадия проводимого здесь анализа (вплоть до рис.
2.20) элементарна и студенты могут
проделать ее сами. Когда r переваливает
через единицу, происходит первая
бифуркация. Начало координат теряет
устойчивость и от него отделяются две
новые устойчивые стационарные точки:
X
1
= ( , r – 1)
Рис. 2.17. Зависимость координаты x
2
одной из траекторий от времени.
Рис. 2.18. Ас
импотически
устойчивая точка в системе Лоренца
при r<1.
ƚ
dž
Ϯ
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- …
- следующая ›
- последняя »
