Синергетика для инженеров. Никитенков Н.Н - 49 стр.

UptoLike

48
В-третьих, если в качестве начальных
данных взять не точку, а некоторый, пусть
очень малый, объем в фазовом
пространстве, то с течением времени
система начнет этот маленький объем
«каплю», размазывать по всему
аттрактору, и возникает эффект
перемешивания. Таким образом, если в
начальный момент времени мы знали
состояние системы достаточно точно, с
малой ошибкой, то со временем ошибка
начнет нарастать, и спустя некоторое время, зависящее от скорости пе-
ремешивания (заметим, что скорость перемешивания обычно не связана
какимибо простым образом с величинами показателей Ляпунова),
окажется, что о состоянии системы можно сказать лишь то, что оно «где-то
на аттракторе». На больших временах характеризовать систему можно, только
указав вероятность появления траектории в окрестности некоторой точки.
Таким образом, мы приходим к вероятностному описанию динамического
хаоса, к понятиям инвариантной меры и энтропии степени хаотичности
системы. Аттракторы, обладающие свойством перемешивания, часто называют
перемешивающими или стохастическими аттракторами. Однако доказать
или проверить свойство перемешивания обычно очень трудно. Тем не менее, в
большинстве случаев хаотичность влечет за собой и стохастичность
аттрактора.
Странные аттракторы можно разделить на стохастические и
хаотические, в зависимости от того, отражают ли они стохастическое или
хаотическое поведение системы. Стохастические аттракторы состоят
из конечного или бесконечного числа седловых циклов и неустойчивых
многообразий. Хаотические аттракторы состоят как из седловых циклов,
так и из устойчивых циклов с малыми областями притяжения. В
стохастическом аттракторе все фазовые траектории являются
экспоненциально неустойчивыми. А в хаотическом аттракторе должна
быть хотя бы одна устойчивая траектория.
Аттрактор Хенона является странным и хаотическим. Однако, это верно не
для всех странных аттракторов. Существуют странные нехаотические
аттракторы, простейшим примером которых служит инвариантное
множество в так называемом логистическом отображении: x
n+1
= ах
n
(1–х
п
), х
n
принадлежит интервалу [0,1]; при некотором а=а
оно имеет фрактальную
структуру, но показатель Ляпунова λ=0. Бывает и наоборот, при а=4,
λ=1n2≈0,693..., в то время как инвариантное множество это весь отрезок [0,1]
и у него нет фрактальной структуры, получаем, что хаотичность не влечет
странности. Заметим, что эти ситуации в некотором смысле нетипичные.
Рис. 2.16.
Расходимость близких
траекторий для аттрактора Хенона.