Синергетика для инженеров. Никитенков Н.Н - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

53
стремится к аттрактору. Траектория делает по несколько оборотов то
вокруг неустойчивой стационарной точки X
1
, то вокруг неустойчивой
стационарной точки X
2
, меняя их «случайным образом». Известно, что
аттрактор Лоренца обладает следующими свойствами (обоснование этих
свойств к настоящему моменту содержит эмпирические этапы, основанные
на результатах численных расчетов).
Во-первых, множество Λ является аттрактором в том смысле, что
существует открытое в трехмерном фазовом пространстве (R
3
) множество
A такое, что Λ=∩
t≥0
g
t
A (здесь g
t
– оператор сдвига по траекториям системы
Лоренца, ∩ – математический знак, обозначающий пересечение). Другими
словами, все траектории, начинающиеся в A (в данном случае в качестве A
можно взять все R
3
, исключая начало координат), притягиваются к Λ.
Во-вторых, в Λ имеется всюду плотное множество периодических
траекторий, причем каждая из них неустойчива.
В-третьих, траектории, лежащие в Λ, экспоненциально расходятся
(«разбегаются») и поэтому при сколь угодно малом возмущении
начальных данных в задаче Коши для системы Лоренца решения на
большом интервале времени могут различаться очень сильно. Это
свойство называют, также, чувствительной зависимостью от начальных
условий.
Мерой расходимости траекторий на аттракторе являются показатели
(или числа) Ляпунова (λ
i
). Вычисление показателей Ляпунова возможно, в
принципе для любой динамической системы, но представляет собой
довольно сложную математическую задачу и требует численного
моделирования. В спектре аттрактора N-мерной динамической системы
существует N показателей Ляпунова. Обычно показатели Ляпунова для
определенного аттрактора располагают в порядке убывания и указывают
только их знак (+,–) или 0. Например, символы (+, 0, –) означают, что у
некоторого аттрактора в трехмерном фазовом пространстве, в среднем,
вдоль одного направления происходит экспоненциальное растяжение,
вдоль другого – поток обладает нейтральной устойчивостью, вдоль
третьего – траектории претерпевают экспоненциальное сжатие.
Основываясь на сказанном можно идентифицировать аттракторы по
знакам показателей Ляпунова (табл. 1)
Таблица 1. Идентификация аттракторов по знакам показателей Ляпунова
Тип аттрактора Знаки показателей Ляпунова
Неподвижная точка
Предельный цикл
Тор2
Странный аттрактор
–, –, –
0, –, –
0, 0, –
+, 0, –

Страницы