Синергетика для инженеров. Никитенков Н.Н - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

54
2.4. Бифуркации и их классификация
Основы математической теории бифуркаций были созданы А. Пуанкаре
и A. M. Ляпуновым в начале ХХ века, а затем развиты А.А. Андроновым и
его школой, Э. Хопфом и другими. В настоящее время она представляет
собой одну из наиболее быстро развивающихся областей математики.
Теория бифуркаций находит приложения в разных науках, начиная от
физики и химии, заканчивая биологией и социологией.
Происхождение термина бифуркация (от лат. bifurcus - раздвоенный)
связано с тем фактом, что динамическая система, поведение которой в
равновесной области описывается системой линейных дифференциальных
уравнений, имеющих единственное решение, при изменении параметров
до некоторого критического значения, достигает так называемой точки
бифуркации – точки ветвления возможных путей эволюции системы. Этот
момент соответствует переходу системы в неравновесное состояние, а на
уровне математического описания ему соответствует переход к
нелинейным дифференциальным уравнениям и ветвление их решений.
Бифуркацией называется приобретение нового качества движения
динамической системы при малом
изменении ее параметров. Бифуркация
соответствует перестройке характера
движения или структуры реальной
системы (физической, химической,
биологической и т. д.). Знание основных
бифуркаций позволяет упростить
исследование конкретных физических
систем, в частности, предсказать
варианты и параметры новых движений,
возникающих в точке бифуркации. Это
относится как к системам с
сосредоточенными параметрами, так и к системам с распределенными
параметрами.
С позиций математики, бифуркация – это смена топологической
структуры разбиения фазового пространства динамической системы на
траектории при малом изменении ее параметров.
Это определение опирается на понятие топологической
эквивалентности динамических систем: две системы топологически
эквивалентны, если они имеют одинаковую структуру разбиения фазового
пространства на траектории, если движения одной из них могут быть
сведены к движениям другой непрерывной заменой координат и времени.
Примером такой эквивалентности служат движения маятника при разных
величинах коэффициента трения k: при малом трении траектории на
Рис. 2.24.
Фазовые портреты системы
0
x kx k
+ + =
&& &
при разных k: а –
при
k <2; б – при k >2.

Страницы