Синергетика для инженеров. Никитенков Н.Н - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

55
фазовой плоскости имеют вид скручивающихся спиралей, а при большом –
парабол (рис. 2.24). Эти кажущиеся, на первый взгляд, различными
фазовые портреты введением новой системы координат можно свести
один к другому. То есть, переход от фазового портрета рис. 2.24 а к рис.
2.24 б не представляет собой бифуркации, поскольку бифуркации – это
переход от данной системы к топологически неэквивалентной.
Примером перестройки характера движения реальной системы может
служить возникновение ячеек Бенара в горизонтальном слое вязкой
жидкости при подогреве снизу (см. разд. 3.1). Увеличение температуры
нижней поверхности вплоть до некоторой разности температур не
приводит к появлению макроскопического движения жидкости; при
некотором же значении Т
кр
возникает ячеистая конвекция. При этом
возможны два варианта конвекции (вращение конвективных валов по
часовой стрелке и против нее). В математической модели возникновению
таких ячеек соответствует бифуркация рождения новых состояний
равновесия (соответствующих ячеистой структуре). Среди различных
бифуркаций при анализе моделей физических систем особенно интересны,
так называемые, локальные. Это бифуркации, при которых происходит
перестройка отдельных движений динамической системы. Простейшими и
наиболее важными из них являются бифуркации состояний равновесия и
периодических движений.
2.4.1. Бифуркации состояний равновесия.
Основные бифуркации состояний равновесия:
1) слияние и последующее исчезновение двух состояний равновесия.
Примером может служить движение шарика в потенциальной яме с
«полочкой» (рис. 2.25). При сглаживании полочки (BD рис. 2.26) состояния
равновесия, седло S и центр C
2
сливаются и исчезают (рис. 2.26).
2) Рождение предельного цикла из состояния равновесия. Пример такой
бифуркации переход простейшего лампового генератора при
соответствующем изменении управляющего напряжения от режима
статических колебаний к автоколебательному режиму. В этом случае на
фазовой плоскости из устойчивого фокуса в начале координат при
коэффициенте затухания α≥0 рождается предельный цикл, амплитуда
которого при малых α имеет порядок
α
, а фокус становится
неустойчивым. 3) Рождение из одного равновесного состояния трёх
состояний равновесия (спонтанное нарушение симметрии). Например,
изменению движения шарика в жёлобе при появлении на дне жёлоба
бугорка соответствует бифуркация, при которой из вырожденного
состояния равновесия типа центр (рис. 2.27, а) возникают три состояния

Страницы