Синергетика для инженеров. Никитенков Н.Н - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

58
зависимость величины параметра x на n+1 шаге итераций от величины на
n-м шаге). Рис. 2.30а соответствует состоянию системы, в котором
устойчивые колебания отсутствуют – предельных циклов нет. Рис. 2.30б
соответствует моменту бифуркации: график функциональной зависимости
x
n+1
от x
n
касается биссектрисы первого квадранта – происходит рождение
двух периодических движений – устойчивого 1 и неустойчивого 2 (рис.
2.30, в).
2.4.3. Бифуркации смены устойчивости периодических движений.
Важной характеристикой бифуркаций смены устойчивости
периодических движений являются значения мультипликаторов в
критический момент, которые представляют собой коэффициенты
усиления (затухания) малых возмущений на фоне рассматриваемого
периодического движения за период T. Математически мультипликаторы
– это собственные значения матрицы expRT, характеризующей решение
Z(t)=C(T)·expRT линеаризованной системы в окрестности исследуемого
периодического движения x=f(t, µ), f(t+T, µ)≡ f(t, µ). Здесь R постоянная,
С(t) – периодическая матрица: С(t+T)≡С(t). В автономной системе,
описываемой уравнениями, явно независящими от времени, один из
мультипликаторов всегда равен единице, поэтому в дальнейшем говорится
только об остальных. Если все остальные мультипликаторы по модулю
меньше 1, то исходное периодическое движение устойчиво. Бифуркации,
связанные с потерей устойчивости, происходят при значениях параметров
системы, при которых один или несколько из них равны по модулю 1. В
случае равенства одного из мультипликаторов единице осуществляется так
называемая бифуркация удвоения периода (табл. 2, строка 1). Она
характеризуется тем, что в момент бифуркации (его называют точкой
бифуркации) малое по модулю возмущение через период просто меняет
знак, а через следующий оборот в линейном приближении происходит
замыкание траектории. В результате этой бифуркации из исходного
периодического движения рождается устойчивое периодическое движение
приблизительно удвоенного периода, а исходный режим становится
неустойчивым.
Бесконечная цепочка бифуркаций удвоения периода – один из наиболее
распространенных путей возникновения стохастического поведения в
реальных системам. Появлению двухчастотных колебаний в физической
системе отвечает бифуркация рождения двумерного тора из
периодической траектории (табл. 2, строка 2).
В системах, зависящих от двух параметров, или в системах с
определенным типом симметрии встречается бифуркация, при которой
рождается сразу 2 устойчивых предельных цикла (табл. 2, строка 3). Такая

Страницы