Синергетика для инженеров. Никитенков Н.Н - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

81
Если менять амплитуду и полуширину начального распределения, то
изменится время обострения, а величина области локализации и форма той
части профиля, где горение идет интенсивно, сохранится. То есть
нелинейная среда «забывает» детали начального распределения, от
которого зависит только значение времени обострения t
f
. «Забывание»
деталей начальных данных характерно для большинства систем,
изучаемых синергетикой. В решаемой здесь задаче то распределение,
которое формируется на стадии интенсивного горения, не зависит ни от
краевых условий, ни от начальных данных.
Из расчетов следует также, что в пределах области локализации
температура растет по одному закону, то есть, горение идет согласованно.
Это и позволяет говорить о диссипативной тепловой структуре.
Выясним, каковы форма диссипативной структуры, длина области
локализации L
t
и по какому закону растет температура среды. Применим к
уравнению (3.7) метод разделения переменных. То есть решение уравнения
(3.7) ищем в виде:
T(x,t)=g(t)f(ξ), ξ=x/φ(t) (3.9)
Подставив (3.9) в (3.7), можно получить соотношения:
(
)
(
)
1/ 1
1
g(t)=
А 1 / ,
f
t t
β
− −
−
(
)
(
)
(
)
0,5 1 / 1
2
(t)=A 1 /
f
t t
β σ β
ϕ
−
, (3.10)
и нелинейное уравнение для определения функции f(ξ):
( ) ( )
( )
1
1 1
,
1 2 1
f
f f f f f
t t
σ β
ξ ξ
ξ
β σ
ξ
β β
− −
+ = +
− −
(3.11)
где
1
А
и
2
А
– константы, определяемые параметрами β, σ, k
0
, q
0
.
Функция g(t) задает закон роста максимальной температуры нагретой
области, φ(t) – закон изменения полуширины профиля температуры. Из
(3.10) следует, что при β=σ+1 полуширина профиля температуры Т(х,t)
остается постоянной, рис. 3.7, а иллюстрирует этот вывод.
Функция f(ξ) определяет форму структуры. При β=σ+1 уравнение (3.11)
можно решить аналитически, то есть, не прибегая к помощи компьютера.
Решение, описывающее локализованную структуру, имеет вид:
( )
( )
( ) ( )
(
)
1/ 1
1
2 1
cos / 2 1 2
f
f L
σ
ξ πξ σ σ σ
+
−
−
= + +
, (3.12)
где
0
0
2
1
f
k
L
q
π
σ
σ
= +
– величина области локализации при любых σ,
k
0
, q
0
. Форма структуры и величина L
f
совпадают с тем, что дают
компьютерные расчеты (рис. 3.7, а).
Из формулы (3.9) следует, что распределение температуры с течением

Страницы