Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 141 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

x
t
= 236.8958 + x
t – 1
+ ε
t
.
Все рассмотренные варианты проверки гипотезы о наличии единичного корня в рамках
статистических моделей
SM: x
t
= a
1
x
t – 1
+ ε
t
SM:
x
t
= α + a
1
x
t – 1
+ ε
t
SM: x
t
= α + β
t + a
1
x
t – 1
+ ε
t
основывались на распределениях оценки наименьших квадратов коэффициента
a
1
и t-
статистики для проверки гипотезы a
1
= 1 при соответствующих предположениях о процессе
порождения данных:
DGP:
x
t
= x
t – 1
+ ε
t
(случайное блуждание),
DGP:
x
t
= α + x
t – 1
+ ε
t
(случайное блуждание со сносом).
С другой стороны, например, если SM:
x
t
= α + a
1
x
t – 1
+ ε
t
, то гипотеза x
t
= x
t – 1
+ ε
t
равносильна гипотезе
H
0
: α = 0, a
1
= 1.
Если бы мы находились в рамках классической модели линейной регрессии, то проверяли
подобную гипотезу с использованием F-статистики
)2)1((
2)(
0
1
−−
−
=Φ
TRSS
RSSRSS
,
которая в классическом варианте имеет при гипотезе H
0
F-распределение Фишера F(2, T – 3)
с двумя и
T – 3 степенями свободы. Поскольку, однако, мы имеем дело при гипотезе H
0
с
нестационарным процессом
, то, вообще говоря, не следует ожидать, что распределение
статистики Ф
1
при гипотезе H
0
будет иметь (хотя бы асимптотически) распределение F(2, T
–
3). Этот вопрос был исследован Дики и Фуллером [Dickey, Fuller (1981)]. Ими были
построены таблицы распределения статистики Ф
1
при гипотезе H
0
: α = 0, a
1
= 1. Ниже
приведены 5% критические значения статистики Ф
1
, рассчитанные Дики и Фуллером, а
также (для сравнения) 5% критические значения
F
крит
, рассчитанные по распределению F(2,
n – 3) (см., также [Hamilton (1994), таблица В.7 Case 2] и [Enders (1995), таблица С]):
T
Ф
1 крит
F
крит
25
5.18 3.44
50
4.86 3.20
100
4.71 3.10
250
4.63 3.00
500
4.61 3.00
∞ 4.59 3.00
Пример
Опять возьмем для примера ряды WALK_1, ST_2, ST_1 (по 50 наблюдений). 
xt = 236.8958 + xt – 1 + εt .

    Все рассмотренные варианты проверки гипотезы о наличии единичного корня в рамках
статистических моделей
    SM: xt = a1 xt – 1 + εt
    SM: xt = α + a1 x t – 1 + εt
    SM: xt = α + β t + a1 xt – 1 + εt
основывались на распределениях оценки наименьших квадратов коэффициента a1 и t-
статистики для проверки гипотезы a1 = 1 при соответствующих предположениях о процессе
порождения данных:
    DGP: xt = xt – 1 + εt (случайное блуждание),
    DGP: xt = α + xt – 1 + εt (случайное блуждание со сносом).
С другой стороны, например, если SM: xt = α + a1 xt – 1 + εt , то гипотеза xt = xt – 1 + εt
равносильна гипотезе
    H0: α = 0, a1 = 1.
Если бы мы находились в рамках классической модели линейной регрессии, то проверяли
подобную гипотезу с использованием F-статистики
          ( RSS 0 − RSS ) 2
    Φ1 =                     ,
          RSS ((T − 1) − 2)
которая в классическом варианте имеет при гипотезе H0 F-распределение Фишера F(2, T – 3)
с двумя и T – 3 степенями свободы. Поскольку, однако, мы имеем дело при гипотезе H0 с
нестационарным процессом, то, вообще говоря, не следует ожидать, что распределение
статистики Ф1 при гипотезе H0 будет иметь (хотя бы асимптотически) распределение F(2, T
– 3). Этот вопрос был исследован Дики и Фуллером [Dickey, Fuller (1981)]. Ими были
построены таблицы распределения статистики Ф1 при гипотезе H0: α = 0, a1 = 1. Ниже
приведены 5% критические значения статистики Ф1 , рассчитанные Дики и Фуллером, а
также (для сравнения) 5% критические значения Fкрит , рассчитанные по распределению F(2,
n – 3) (см., также [Hamilton (1994), таблица В.7 Case 2] и [Enders (1995), таблица С]):
T     Ф1 крит F крит
25 5.18         3.44
50 4.86         3.20
100 4.71        3.10
250 4.63        3.00
500 4.61        3.00
∞     4.59      3.00

   Пример
   Опять возьмем для примера ряды WALK_1, ST_2, ST_1 (по 50 наблюдений).

Страницы