Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 145 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

6.3. Расширенные критерии Дики - Фуллера
Обратимся опять к статистическим данным о величине валового национального продукта
(GNP) в США за период с первого квартала 1947 г. по четвертый квартал 1961 г. В главе 5
мы идентифицировали этот ряд как процесс авторегрессии второго порядка
X
t
– 217.740 – 5.222 t = 1.380 (X
t–1
– 217.740 – 5.222(t–1)) –
–
0.630 (X
t–2
– 217.740 – 5.222(t–2)) + ε
t
,
или
X
t
= 55.017 + 1.304 t + 1.380 X
t–1
– 0.630X
t–2
+ ε
t
.
Как проверить гипотезу о наличии единичного корня в модели авторегрессии, порождающей
этот ряд? Ведь в рассмотренных выше критериях Дики – Фуллера проверка такой гипотезы
велась в рамках моделей авторегрессии первого порядка. Выход из этого положения оказался
достаточно простым.
Рассмотрим статистическую модель
SM:
x
t
= α + β
t + a
1
x
t–1
+ a
2
x
t–2
+ …+ a
p
x
t–p
+ ε
t
.
Путем чисто алгебраических преобразований ее можно преобразовать к виду
(#) x
t
= α + β
t + ρ x
t–1
+ (θ
1
∆x
t–1
+ …+ θ
p–1
∆x
t – p+1
) + ε
t
,
где
ρ = a
1
+ a
2
+ … + a
p
, θ
j
= – (a
j + 1
+ … + a
p
) .
(В примере с GNP такое преобразование дает
x
t
= 55.017 + 1.304 t + 1.380 X
t–1
– 0.630X
t–1
+ 0.630X
t–1
– 0.630X
t–2
+ ε
t
=
= 55.017 + 1.304 t + 0.750 X
t–1
+ 0.630 ∆X
t–1
+ ε
t
.)
Если исходить из того, что уравнение
a(z) = 0 может иметь только один корень z = 1, а
остальные
p – 1 корней лежат за пределами единичного круга, то тогда наличие единичного
корня равносильно тому, что
a
1
+ a
2
+ …+ a
p
= 1, т.е. ρ = 1. (См., например, [Hamilton
(1994)].) Таким образом, гипотеза существования единичного корня у процесса AR(
p)
сводится в этом случае
к гипотезе H
0
: ρ = 1 в преобразованном соотношении (#) . Для
проверки этой гипотезы можно пользоваться теми же таблицами Фуллера, только на этот раз
используются значения статистики
T(
ρ
ˆ
– 1) и t-отношения для проверки гипотезы ρ = 1,
полученные при оценивании
расширенной (augmented) статистической модели (#) (с β и α
, равными или не равными нулю). Соответствующие “
t-статистики” обозначают обычно ADF
(augmented Dickey – Fuller)
, в отличие от статистики DF, получаемой для модели AR(1).
Для того, чтобы не вычислять самим каждый раз значение
t-статистики для гипотезы ρ =
1, можно преобразовать
(#) к виду
(
# #) ∆x
t
= α + β
t + φ x
t–1
+ (θ
1
∆x
t–1
+ …+ θ
p-1
∆x
t – p+1
) + ε
t
, 
6.3. Расширенные критерии Дики - Фуллера

    Обратимся опять к статистическим данным о величине валового национального продукта
(GNP) в США за период с первого квартала 1947 г. по четвертый квартал 1961 г. В главе 5
мы идентифицировали этот ряд как процесс авторегрессии второго порядка
    Xt – 217.740 – 5.222 t = 1.380 (Xt–1 – 217.740 – 5.222(t–1)) –
                                    – 0.630 (Xt–2 – 217.740 – 5.222(t–2)) + εt,
или
    Xt = 55.017 + 1.304 t + 1.380 Xt–1 – 0.630Xt–2 + εt .
Как проверить гипотезу о наличии единичного корня в модели авторегрессии, порождающей
этот ряд? Ведь в рассмотренных выше критериях Дики – Фуллера проверка такой гипотезы
велась в рамках моделей авторегрессии первого порядка. Выход из этого положения оказался
достаточно простым.
    Рассмотрим статистическую модель
    SM: xt = α + β t + a1 xt–1 + a2 xt–2 + …+ ap xt–p + εt .
Путем чисто алгебраических преобразований ее можно преобразовать к виду
    (#)    xt = α + β t + ρ xt–1 + (θ1 ∆xt–1 + …+ θ p–1 ∆xt – p+1 ) + εt ,
где
    ρ = a1 + a2 + … + ap , θ j = – (aj + 1 + … + ap) .
(В примере с GNP такое преобразование дает
    xt = 55.017 + 1.304 t + 1.380 Xt–1 – 0.630Xt–1 + 0.630Xt–1 – 0.630Xt–2 + εt =
       = 55.017 + 1.304 t + 0.750 Xt–1 + 0.630 ∆Xt–1 + εt .)

    Если исходить из того, что уравнение a(z) = 0 может иметь только один корень z = 1, а
остальные p – 1 корней лежат за пределами единичного круга, то тогда наличие единичного
корня равносильно тому, что a1 + a2 + …+ ap = 1, т.е. ρ = 1. (См., например, [Hamilton
(1994)].) Таким образом, гипотеза существования единичного корня у процесса AR(p)
сводится в этом случае к гипотезе H0: ρ = 1 в преобразованном соотношении (#) . Для
проверки этой гипотезы можно пользоваться теми же таблицами Фуллера, только на этот раз
используются значения статистики T( ρ̂ – 1) и t-отношения для проверки гипотезы ρ = 1,
полученные при оценивании расширенной (augmented) статистической модели (#) (с β и α
, равными или не равными нулю). Соответствующие “t-статистики” обозначают обычно ADF
(augmented Dickey – Fuller), в отличие от статистики DF, получаемой для модели AR(1).
    Для того, чтобы не вычислять самим каждый раз значение t-статистики для гипотезы ρ =
1, можно преобразовать (#) к виду
    (# #) ∆xt = α + β t + φ xt–1 + (θ1 ∆xt–1 + …+ θ p-1 ∆xt – p+1 ) + εt ,

Страницы