Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 146 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

где φ = ρ – 1, так что гипотеза H
0
: ρ = 1 в (#) равносильна гипотезе H
0
: φ = 0 в (# #).
В качестве альтернативной к H
0
: ρ = 1 в (#) выступает гипотеза H
A
: ρ < 1. При переходе от
(#) к (# #)) она преобразуется в гипотезу H
A
: φ < 0 .
При этом, значение “
t-статистики” для проверки гипотезы H
0
: ρ = 1 в (#) численно равно
значению “
t-статистики” для проверки гипотезы H
0
: φ = 0 в (# #).
Пример
Для ряда GNP оценивание модели
∆
x
t
= α + β
t + φ x
t–1
+ θ
1
∆x
t–1
+ ε
t
(обычным методом наименьших квадратов) приводит к следующему результату:
ADF Test Statistic -4.117782 1% Critical Value* -4.1219
5% Critical Value -3.4875
10% Critical Value -3.1718
*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(X)
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
X(-1) -0.249792 0.060662 -4.117782 0.0001
D(X(-1)) 0.630066 0.109453 5.756490 0.0000
C 56.32136 13.18303 4.272264 0.0001
@TREND(1947:1) 1.304300 0.315357 4.135949 0.0001
Гипотеза единичного корня отвергается: значение t-статистики для проверки гипотезы H
0
: φ
= 0 оказывается ниже 5% критического значения, вычисленного по формуле Маккиннона, и
близко к 1% критическому значению.
В связи с последним примером, следует особо отметить, что использование расширенной
модели предполагает, что количество запаздывающих разностей, включенных в правую
часть, исчерпывает временную зависимость, так что
ε
t
– независимые случайные величины.
В то же время, не следует включать в правую часть излишних запаздывающих разностей, т.к.
это снижает мощность критериев как по причине оценивания дополнительных параметров,
так и по причине уменьшения используемого количества наблюдений.
Для определения надлежащей глубины запаздываний следует начинать с относительно
большого порядка *
pp = , а затем опираться на то обстоятельство, что хотя при наличии
единичного корня распределения оценки
ϕ
ˆ
и
t-статистики для проверки гипотезы φ = 0
нестандартны, распределения оценок коэффициентов
θ
1
, … , θ
p–1
все же являются
асимптотически нормальными. Поэтому можно сначала проверить гипотезу о том, что
1 *−p
θ
=
0, используя обычную
t-статистику и критические точки соответствующего t-распределения
Стьюдента. Если эта гипотеза не отклоняется, то далее проверяем гипотезу
θ
p* – 1
= θ
p*– 2
= 0, 
где φ = ρ – 1, так что гипотеза H0: ρ = 1 в (#) равносильна гипотезе H0: φ = 0 в (# #).
В качестве альтернативной к H0: ρ = 1 в (#) выступает гипотеза HA: ρ < 1. При переходе от
(#) к (# #)) она преобразуется в гипотезу HA: φ < 0 .
    При этом, значение “t-статистики” для проверки гипотезы H0: ρ = 1 в (#) численно равно
значению “t-статистики” для проверки гипотезы H0: φ = 0 в (# #).

   Пример
   Для ряда GNP оценивание модели
   ∆xt = α + β t + φ xt–1 + θ1 ∆xt–1 + εt
(обычным методом наименьших квадратов) приводит к следующему результату:
ADF Test Statistic    -4.117782      1% Critical Value*      -4.1219
                                     5% Critical Value       -3.4875
                                     10% Critical Value      -3.1718
*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(X)
Variable            Coefficient Std. Error     t-Statistic   Prob.
X(-1)                 -0.249792    0.060662    -4.117782     0.0001
D(X(-1))              0.630066     0.109453    5.756490      0.0000
C                     56.32136     13.18303    4.272264      0.0001
@TREND(1947:1)        1.304300     0.315357    4.135949      0.0001
Гипотеза единичного корня отвергается: значение t-статистики для проверки гипотезы H0: φ
= 0 оказывается ниже 5% критического значения, вычисленного по формуле Маккиннона, и
близко к 1% критическому значению.

    В связи с последним примером, следует особо отметить, что использование расширенной
модели предполагает, что количество запаздывающих разностей, включенных в правую
часть, исчерпывает временную зависимость, так что εt – независимые случайные величины.
В то же время, не следует включать в правую часть излишних запаздывающих разностей, т.к.
это снижает мощность критериев как по причине оценивания дополнительных параметров,
так и по причине уменьшения используемого количества наблюдений.
    Для определения надлежащей глубины запаздываний следует начинать с относительно
большого порядка p = p * , а затем опираться на то обстоятельство, что хотя при наличии
единичного корня распределения оценки ϕ̂ и t-статистики для проверки гипотезы φ = 0
нестандартны, распределения оценок коэффициентов θ1, … , θp–1 все же являются
асимптотически нормальными. Поэтому можно сначала проверить гипотезу о том, что θ p* − 1 =
0, используя обычную t-статистику и критические точки соответствующего t-распределения
Стьюдента. Если эта гипотеза не отклоняется, то далее проверяем гипотезу θp* – 1 = θp*– 2 = 0,

Страницы