Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 150 стр.

работе [Dolado, Jenkinson, Sosvilla – Rivero (1990)]; см. также [Enders (1995)]. Эта процедура
будет рассмотрена ниже в разделе 6.6.
   Если наблюдаемый ряд описывается моделью авторегрессии a(L) xt = εt более высокого
(но конечного) порядка p , уравнение a(z) = 0 имеет не более одного единичного корня и не
имеет корней внутри единичного круга, то тогда можно воспользоваться расширенным
(augmented) критерием Дики – Фуллера. В каждой из трех рассмотренных выше ситуаций
достаточно дополнить правые части оцениваемых статистических моделей запаздывающими
разностями ∆xt−j , j = 1, …, p − 1, так что оцениваются расширенные статистические модели
                                             p −1
   (1)   SM: ∆xt = α + β t + ϕ xt −1 + ∑θ j ∆xt − j + ε             t   ,   t = p + 1, … , T ,
                                             j =1
                                      p −1
   (2)   SM: ∆xt = α + ϕ xt −1 + ∑θ j ∆xt − j + ε           t   ,   t = p + 1, … , T ,
                                      j =1
                              p −1
   (3)   SM: ∆xt = ϕ xt −1 + ∑θ j ∆xt − j + ε       t   ,       t = p + 1, … , T .
                               j =1



    Полученные при оценивании расширенных статистических моделей значения                     t-
статистик tϕ для проверки гипотезы H0 : ϕ = 0 сравниваются с теми же критическими
значениями tcrit , что и для нерасширенных моделей. DS-гипотеза отвергается, если tϕ < tcrit.
    Расширенный критерий Дики – Фуллера может применяться и тогда, когда ряд xt
описывается смешанной моделью авторегрессии – скользящего среднего. Как было указано в
работе [Said, Dickey (1984)], если ряд наблюдений x1,…, xT порождается моделью ARIMA(p,
1, q) c q > 0, то его можно аппроксимировать моделью ARI(p*, 1) = ARIMA(p*, 1, 0) с p*<
3
  T и применять процедуру Дики – Фуллера к этой модели.
    Однако даже если ряд наблюдений x1,…, xT действительно порождается моделью
авторегрессии AR(p) конечного порядка p, то значение p обычно не известно, и его
приходится оценивать на основании имеющихся наблюдений, а такое предварительное
оценивание влияет на характеристики критерия. Поэтому при анализе данных приходится
сначала выбирать значение p=pmax достаточно большим, так чтобы оно было не меньше
истинного порядка p0 авторегрессионной модели, описывающей ряд, или порядка р*
аппроксимирующей авторегрессионной модели, а затем пытаться понизить используемое
значение р, апеллируя к наблюдениям.
    Такое понижение может осуществляться, например, путем последовательной редукции
расширенной модели за счет исключения из нее незначимых (на 10% уровне)
запаздывающих разностей (GS-стратегия перехода от общего к частному) или путем
сравнения (оцененных) полной и редуцированных моделей с различными р ≤ pmax по
информационному критерию Шварца (SIC). В работах [Hall (1994)] и [Ng, Perron (1995)]
показано, что если pmax ≥ p0 , то тогда в пределе (при Т → ∞) SIC выбирает правильный