Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 161 стр.

      (λ )                         j 
                             l
           2 ∗
                 = γ ∗0 + 2∑ 1 −         γ   ∗
                                                  ,
                                  l + 1
                                              j
                           j =1 

где
                           l
      γ    ∗
           j   = T −1    ∑u u
                        t = j +1
                                   ∗ ∗
                                   t t− j


j-я выборочная автоковариация ряда ut . Если и l и T стремятся к бесконечности, но так,
       (           )
что l T 1 / 4 → 0 , то тогда λ              ( )
                                              2 ∗
                                      – состоятельная оценка для λ2 (см. [Phillips (1987)]) и
асимптотические распределения статистики              Zt     совпадают с соответствующими
асимптотическими распределениями статистики tϕ в критерии Дики – Фуллера. Поскольку
реально мы имеем лишь конечное количество наблюдений, встает вопрос о выборе
количества используемых лагов l в оценке Newey – West (параметр l называют “шириной
окна” – window size). Этот вопрос достаточно важен, т.к. недостаточая ширина окна ведет к
отклонениям от номинального размера критерия (уровня значимости). В то же время,
увеличение ширины окна для избежания отклонений от номинального размера критерия
ведет к падению мощности критерия. Таким образом, выбор какой-то конкретной ширины
окна является компромиссом между двумя этими противоположными тенденциями.
    Целый ряд исследований в этом направлении (сюда относятся, например, работы
[Phillips, Perron (1988)], [Schwert (1989)]) не привел к какому-либо простому правилу выбора
значения l.
    Часто при выборе этого параметра пользуются рекомендациями [Schwert (1989)], полагая
l = [K×(T/100)1/4], где [a] – целая часть числа a, а значение K полагается равным 4 для
квартальных и равным 12 для месячных данных. Другое правило выбора значения l
реализованное, в частности, в пакете EVIEWS, состоит в выборе значения l = [4×(T/100)2/9]
([Newey, West (1994)]). Некоторые авторы рекомендуют не опираться только лишь на длину
ряда, а учитывать при выборе l количество значимых автокорреляций ряда.
    Критические значения для статистики Zt берутся из тех же таблиц [Fuller (1976)] или
вычисляются по формулам [МacKinnon(1991)].
    Заметим также, что если ряд xt представляется моделью IMA(1, q), то тогда это значение
q и следует использовать в качестве параметра l в оценке Newey-West. Если при этом q = 1,
так что ∆xt = ε t + b1ε t −1 , то при b1 > 0 критерий Филлипса-Перрона имеет более высокую
мощность, чем критерий Дики – Фуллера, при одновременном уменьшении вероятности
ошибки первого рода. В то же время, при b1 < 0 высокая мощность критерия Филлипса-
Перрона достигается за счет значительного возрастания ошибки первого рода, так что этот
критерий не рекомендуется применять при b1 < 0 (он будет слишком часто ошибочно
отвергать гипотезу о принадлежности ряда классу DS).

      Пример