Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 204 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Если это так, то ряды y
t
и x
t
называют коинтегрированными рядами, а вектор (1, – b)
T
–
коинтегрирующим вектором.
Вообще, ряды y
t
~ I(1), x
t
~ I(1) называют коинтегрированными (в узком смысле –
детерминистская коинтеграция), если существует ненулевой (коинтегрирующий) вектор
β = (β
1
, β
2
)
T
≠ 0 , для которого
β
1
x
t
+ β
2
y
t
~ I(0) – стационарный ряд.
Заметим, что если вектор β = (β
1
, β
2
)
T
является коинтегрирующим вектором для рядов x
t
и y
t
, то тогда коинтегрирующим для этих рядов будет и любой
вектор вида сβ = (сβ
1
, сβ
2
)
T
, где
с ≠ 0 – постоянная величина. Чтобы выделить какой-то определенный вектор, приходится
вводить
условие нормировки, например, рассматривать только векторы вида (1, – b)
T
(или
только векторы
(– a, 1)
T
).
Поскольку мы предполагаем сейчас, что
x
t
, y
t
~ I(1), то ряды разностей ∆x
t
, ∆y
t
стационарны. Будем предполагать в дополнение, что стационарен векторный ряд (∆x
t
,
∆y
t
)
T
, так что для него существует разложение Вольда в виде скользящего среднего
(∆x
t
, ∆y
t
)
T
= µ + B(L) ε
t
,
где
µ = (µ
1
, µ
2
)
T
, µ
1
= E(∆x
t
) , µ
2
= E(∆y
t
) ;
ε
t
= (ε
1t
, ε
2t
)
T
– векторный белый шум,
т.е.
ε
1
, ε
2
, … – последовательность не коррелированных между собой, одинаково
распределенных случайных векторов, для которых
E(ε
t
) = (0, 0)
T
, D(ε
1t
) = σ
1
2
, D(ε
2t
) = σ
2
2
, Cov(ε
1t
, ε
2t
) = σ
12
– постоянные величины;
k
k
kk
kk
L
bb
bb
LB
1
)(
22
)(
21
)(
12
)(
11
10
01
)(
∑
∞
=
+
=
.
Знаменитый результат Гренджера ([Granger (1983)], см. также [Engle, Granger (1987)])
состоит в том, что в случае коинтегрированности
I(1) рядов x
t
и y
t
(в узком смысле)
(I) В разложении Вольда (∆x
t
, ∆y
t
)
T
= µ + B(L) ε
t
матрица B(1) имеет ранг 1.
(II) Система рядов x
t
и y
t
допускает векторное ARMA представление
A(L) (x
t
, y
t
)
T
= c + d(L)ε
t
,
в котором
ε
t
– тот же векторный белый шум, что и в (I),
c = (c
1
, c
2
)
T
, c
1
и c
2
– постоянные,
A(L) – матричный полином от оператора запаздывания,
d(L) – скалярный полином от оператора запаздывания,
причем
A(0) = I
2
(единичная матрица размера 2×2),
rank
A(1) = 1 (ранг 2×2-матрицы A(1) равен 1), 
Если это так, то ряды yt и xt называют коинтегрированными рядами, а вектор (1, – b)T –
коинтегрирующим вектором.
    Вообще, ряды yt ~ I(1), xt ~ I(1) называют коинтегрированными (в узком смысле –
детерминистская коинтеграция), если существует ненулевой (коинтегрирующий) вектор
β = (β1, β2)T ≠ 0 , для которого
    β1 xt + β2 yt ~ I(0) – стационарный ряд.
Заметим, что если вектор β = (β1, β2)T является коинтегрирующим вектором для рядов xt и yt
, то тогда коинтегрирующим для этих рядов будет и любой вектор вида сβ = (сβ1, сβ2)T , где
с ≠ 0 – постоянная величина. Чтобы выделить какой-то определенный вектор, приходится
вводить условие нормировки, например, рассматривать только векторы вида (1, – b)T (или
только векторы (– a, 1)T ).

     Поскольку мы предполагаем сейчас, что xt , yt ~ I(1), то ряды разностей ∆xt , ∆yt
стационарны. Будем предполагать в дополнение, что стационарен векторный ряд (∆xt ,
∆yt)T , так что для него существует разложение Вольда в виде скользящего среднего
       (∆xt , ∆yt)T = µ + B(L) ε t ,
где
     µ = (µ 1, µ 2 )T , µ 1 = E(∆xt ) , µ 2 = E(∆yt) ;
     ε t = (ε1t , ε2t )T – векторный белый шум,
т.е.
     ε 1, ε 2 , … – последовательность не коррелированных между собой, одинаково
распределенных случайных векторов, для которых
     E(ε t) = (0, 0)T , D(ε1t) = σ12 , D(ε2t) = σ22 , Cov(ε1t , ε2t ) = σ12 – постоянные величины;
                 1 0  ∞  b11( k ) b12( k )  k
      B ( L) =         + ∑  ( k )        L .
                                          (k ) 
                 0   1     k = 1  b
                                    21 b22 

     Знаменитый результат Гренджера ([Granger (1983)], см. также [Engle, Granger (1987)])
состоит в том, что в случае коинтегрированности I(1) рядов xt и yt (в узком смысле)
     (I)      В разложении Вольда (∆xt , ∆yt)T = µ + B(L) ε t матрица B(1) имеет ранг 1.
     (II)      Система рядов xt и yt допускает векторное ARMA представление
       A(L) (xt, yt )T = c + d(L)ε t ,
в котором
       ε t – тот же векторный белый шум, что и в (I),
       c = (c1, c2)T , c1 и c2 – постоянные,
     A(L) – матричный полином от оператора запаздывания,
      d(L) – скалярный полином от оператора запаздывания,
причем
     A(0) = I2 (единичная матрица размера 2×2),
     rank A(1) = 1 (ранг 2×2-матрицы A(1) равен 1),

Страницы