Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 207 стр.

    Проблема, однако, состоит в том, что для построения ECM по реальным статистическим
данным нам надо знать коинтегрирующий вектор (в данном случае, знать значение β).
Хорошо, если этот вектор определяется экономической теорией. К сожалению, чаще его
приходится оценивать по имеющимся данным.
    Энгл и Гренджер [Engle, Granger (1987)] рассмотрели двухшаговую процедуру, в которой
на первом шаге значения α и β оцениваются в рамках модели регрессии yt на xt
    yt = α + β xt + ut .
Получив методом наименьших квадратов оценки α̂ и β̂ (НK-оценки), мы тем самым
находим оцененные значения отклонений от положения равновесия
    ẑt = yt – α̂ – β̂ xt
– это просто остатки от оцененной регрессии.
    После этого, на втором шаге, методом наименьших квадратов раздельно (не как система!)
оцениваются уравнения
                            p −1
   ∆xt = µ1 + α1 zˆt − 1 + ∑ (γ 1 j ∆xt − j + δ 1 j ∆yt − j ) + ν t ,
                             j =1
                             p −1
   ∆yt = µ 2 + α 2 zˆt − 1 + ∑ (γ 2 j ∆xt − j + δ 2 j ∆yt − j ) + wt ,
                              j =1

(т.е. предполагается модель VAR(p) для xt , yt).
    Определяющим в этой процедуре является то обстоятельство, что получаемая на первом
шаге оценка β̂ быстрее обычного приближается (по вероятности) к истинному значению β –
второй компоненте коинтегрирующего вектора (1, β)T . ( β̂ является суперсостоятельной
оценкой для β .) Это, в конечном счете, приводит к тому, что оценки в отдельном уравнении
ECM, использующие оцененные значения z t −1 , имеют то же самое асимптотическое
распределение, что и оценка максимального правдоподобия, использующая истинные
значения z t −1 . (Обычно это асимптотически нормальное распределение.) При этом НК-
оценки стандартных ошибок всех коэффициентов являются состоятельными оценками
истинных стандартных ошибок.
   Заметим, что последние результаты справедливы несмотря на то, что ряд оцененных
значений ẑt формально не является стационарным, поскольку β̂ ≠ β.

   Отметим также, что если мы хотим использовать другую нормировку коинтегрирующего
вектора в виде (β, 1)T , то нам придется оценивать регрессию xt на константу и yt , и это
приведет к вектору, не пропорциональному вектору, оцененному в первом случае.

   Замечание