Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 212 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Прошлые значения переменной x
t
через посредство
1
ˆ
−t
z
помогают в прогнозировании
значения
y
t
, т.е. переменная x
t
является причиной по Гренджеру для переменной y
t
. В то
же время, прошлые значения переменной
y
t
никак не помогают прогнозированию значения
x
t
, так что y
t
не является причиной по Гренджеру для x
t
.
Заметим далее, что даже если в ECM
Cov(v
t
, w
t
) ≠ 0, оценивание пары уравнений ЕСМ
как системы
не повышает эффективности оценок, поскольку в правые части обоих
уравнений входят одни и те же переменные
.
Расмотренный в нашем примере процесс порождения данных
DGP:
x
t
= x
t – 1
+ ε
t
, y
t
= 2 x
t
+ ν
t
,
является частным случаем модели, известной как
треугольная система Филлипса. В
общем случае (для двух рядов) эта система имеет вид
y
t
= β x
t
+ ν
t
,
x
t
= x
t – 1
+ ε
t
,
где (
ε
t
, ν
t
)
T
~ i.i.d. N
2
(0, Σ) – последовательность независимых, одинаково распределенных
случайных векторов, имеющих двумерное нормальное распределение с нулевым
математическим ожиданием и ковариационной матрицей Σ
. (Такая последовательность
называется
двумерным гауссовским белым шумом.)
Если матрица Σ диагональная
, так что Cov(ε
t
, ν
t
) = 0, то тогда x
t
является экзогенной
переменной в первом уравнении, и никаких проблем с оцениванием коэффициента
β в этом
случае не возникает.
Если же
Cov(ε
t
, ν
t
) ≠ 0, то тогда x
t
уже не является экзогенной переменной в первом
уравнении, т.к. при этом
Cov(x
t
, ν
t
) = Cov(x
t – 1
+ ε
t
, ν
t
) ≠ 0. Поэтому получаемая в первом
уравнении оценка наименьших квадратов для
β не имеет даже асимптотически нормального
распределения.
В дальнейшем мы еще вернемся к проблеме оценивания коинтегрирующего вектора, а
сейчас обратимся к вопросу о коинтеграции нескольких
временных рядов.
Пусть мы имеем
N временных рядов y
1t
, … , y
N t
, каждый из которых является
интегрированным порядка 1. Если существует такой вектор
β = (β
1
, ... , β
N
)
T
, отличный от
нулевого, для которого
β
1
y
1t
+ ... + β
N
y
N t
~ I(0) – стационарный ряд,
то говорят, что эти ряды
коинтегрированы (в узком смысле); такой вектор β называется
коинтегрирующим вектором. Если при этом
c = E(β
1
y
1t
+ ... + β
N
y
N t
),
то тогда можно говорить о
долговременном положении равновесия системы в виде
β
1
y
1t
+ ... + β
N
y
N t
= c . 
     Прошлые значения переменной xt через посредство zˆt −1 помогают в прогнозировании
значения yt , т.е. переменная xt является причиной по Гренджеру для переменной yt . В то
же время, прошлые значения переменной yt никак не помогают прогнозированию значения
xt , так что yt не является причиной по Гренджеру для xt .

   Заметим далее, что даже если в ECM Cov(vt, wt) ≠ 0, оценивание пары уравнений ЕСМ
как системы не повышает эффективности оценок, поскольку в правые части обоих
уравнений входят одни и те же переменные.

   Расмотренный в нашем примере процесс порождения данных
   DGP: xt = xt – 1 + εt , yt = 2 xt + νt ,
является частным случаем модели, известной как треугольная система Филлипса. В
общем случае (для двух рядов) эта система имеет вид
   y t = β xt + ν t ,
   xt = xt – 1 + εt ,
где (εt , νt)T ~ i.i.d. N2(0, Σ) – последовательность независимых, одинаково распределенных
случайных векторов, имеющих двумерное нормальное распределение с нулевым
математическим ожиданием и ковариационной матрицей Σ . (Такая последовательность
называется двумерным гауссовским белым шумом.)
   Если матрица Σ диагональная, так что Cov(εt , νt) = 0, то тогда xt является экзогенной
переменной в первом уравнении, и никаких проблем с оцениванием коэффициента β в этом
случае не возникает.
   Если же Cov(εt , νt) ≠ 0, то тогда xt уже не является экзогенной переменной в первом
уравнении, т.к. при этом Cov(xt , νt) = Cov(xt – 1 + εt , νt) ≠ 0. Поэтому получаемая в первом
уравнении оценка наименьших квадратов для β не имеет даже асимптотически нормального
распределения.

   В дальнейшем мы еще вернемся к проблеме оценивания коинтегрирующего вектора, а
сейчас обратимся к вопросу о коинтеграции нескольких временных рядов.

    Пусть мы имеем N временных рядов y1t , … , yN t , каждый из которых является
интегрированным порядка 1. Если существует такой вектор β = (β1, ... , βN)T , отличный от
нулевого, для которого
    β1 y1t + ... + βN yN t ~ I(0) – стационарный ряд,
то говорят, что эти ряды коинтегрированы (в узком смысле); такой вектор β называется
коинтегрирующим вектором. Если при этом
    c = E(β1 y1t + ... + βN yN t),
то тогда можно говорить о долговременном положении равновесия системы в виде
    β1 y1t + ... + βN yN t = c .

Страницы