Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 225 стр.

При этом оценки наименьших квадратов для коэффициентов последней модели имеют те же
самые асимптотические распределения, что и при оценивании истинной ECM.

    Заметим, что если мы имеем дело со стохастической (а не c детерминистской)
коинтеграцией, то для достижения стационарности рядов z1, t , ... , zr, t приходится в
“остационаривающую” линейную комбинацию рядов y1t , … , yN t включать еще и
дополнительную трендовую составляющую, так что в этом случае речь идет о
существовании стационарных линейных комбинаций (N +1) переменных y1t , … , yN t и t , в
которых не все коэффициенты равны нулю.
    Если ранг матрицы A(1) равен r , то тогда существует r таких стационарных линейных
комбинаций
    β 11 y1t + ... + β 1N y1N + β 1, N + 1 t ,
    …………………………………
    β r1 y1t + ... + β r N y1N + β r, N + 1 t .
с линейно независимыми ((N + 1)×1)-векторами
    β(1) = (β 11 , ... , β 1N , β 1, N + 1)T
    ……………………………..
    β(r) = (β r1 , ... , β r N , β r, N + 1)T.
При этом последние векторы интерпретируются как линейно независимые коинтегрирующие
векторы в системе стохастически коинтегрированных рядов.

   Возможность наличия нескольких линейно независимых коинтегрирующих векторов
значительно усложняет задачу построения модели коррекции ошибок (ECM), поскольку, как
минимум, приходится по реальным статистическим данным оценивать количество таких
векторов. Само по себе решение о коинтегрированности нескольких I(1) рядов в результате
использования рассмотренных выше процедур Дики – Фуллера отнюдь не дает нам никакой
информации о ранге коинтеграции r ; для этого требуются другие статистические
процедуры.
   Но если мы не знаем ранга коинтеграции, то теряется смысл оценивания уравнения
регрессии в уровнях
   y1t = с + γ 2 y2t + ... + γ N yN t + ut
(или y1t = с + γ 2 y2t + ... + γ N yN t + γ N + 1 t + ut). Действительно, если r > 1, то вектор (1, – γˆ 2 ,
… , – γˆ N )T (или вектор (1, – γˆ 2 , … , – γˆ N , – γˆ N +1 )T) является оценкой всего лишь одной из
возможных линейных комбинаций r линейно независимых коинтегрирующих векторов,
которая может и не иметь разумной экономической интерпретации.
   Но даже если ранг коинтеграции r по каким-то причинам известен, при r > 1 возникает
другая проблема. В рассмотренном выше представлении Филлипса линейно независимые
коинтегрирующие векторы имели вид