Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 44 стр.

от приведенного выше: в формуле для γˆ (k ) деление производится не на T – k , а на T .
Последнее приводит к тому, что так вычисляемая оценка для ρ(k) имеет смещение в
направлении нуля.

    В распечатках анализа временных рядов вместе с графиками выборочных ACF и PACF
обычно печатаются значения Q-статистики, относящиеся к критерию проверки гипотезы
о том, что наблюдаемые данные являются реализацией процесса белого шума.
    Существует несколько вариантов Q-статистик. Одна из таких статистик (статистика
Бокса – Пирса) была предложена Боксом и Пирсом [Box, Pearce (1970)] и имеет вид
            M
    Q =T    ∑r
            k =1
                   2
                       (k ) .

Вспомним уже упоминавшиеся ранее результаты об асимптотической независимости r(1),
r(2), …, r(M) в случае, когда Xt – белый шум, и заметим, что при больших T в этом случае
√T · r(k) ≈ N (0, 1), так что T r2(k) ≈ [N (0, 1)]2 = χ2(1) . (Заметим, что в этой ситуации не
требуется гауссовость Xt – см. [Хеннан (1974)].) Отсюда вытекает, что при больших T
приближенно имеем
    Q ~ χ2(M).
Против гипотезы H0 говорят скорее большие значения этой статистики. Поэтому если
выбрать уровень значимости равным 0.05, то естественно отвергать эту гипотезу при
выполнении неравенства
    Q > χ20.95(M).
В распечатках коррелограмм приводятся P-значения статистики Q для последовательных
значений M = 1, 2, … . При конкретном значении M гипотеза H0 отвергается, когда
соответствующее P-значение меньше 0.05.
    Впрочем, исследования показали, что статистика Бокса – Пирса плохо приближается
 распределением χ2(M) при умеренных значениях T . Вместо нее в таких случаях
 предпочтительнее использовать статистику Люнга – Бокса [Ljung, Box (1979)]
                   M
                         r 2 (k )
    Q = T (T + 2) ∑               ,
                  k = 1 (T − k )
 которая (при T → ∞) также имеет асимптотическое распределение χ2(M), но ближе к этому
 распределению при умеренных значениях T , чем статистика Бокса – Пирса. В пакете
 EVIEWS (Econometric Views) значения статистики Люнга – Бокса распечатываются вместе с
 приближенными P-значениями, соответствующими распределениям χ2(M).
    Практическое использование Q-статистик наталкивается на определенные трудности.
 Посмотрим на таблицу P-значений (Prob) Q-статистики Люнга – Бокса для только что
 рассмотренного примера с реализацией процесса белого шума.
M   Prob           M            Prob   M   Prob
1   0.670          13 0.064            25 0.061