Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

)2(
ˆ
ln)AIC(
2
Tkk
k
+=
σ
где T – количество наблюдений, а
2
ˆ
k
σ
– оценка дисперсии инноваций ε
t
в AR модели k-го
порядка. Для вычисления
2
ˆ
k
σ
производится подбор модели k-го порядка с использованием
уравнений Юла – Уокера
js
k
j
jks
a
1
−
=
∑
=
ρρ
,
полученные оценки коэффициентов
jk
a
ˆ
, j = 1, … , k , подставляются вместо
jk
a
в уравнение
модели, µ заменяется на
x
, так что получаются оценки для ε
t
,
()
xxa
jt
k
j
jkt
−=
−
=
∑
0
ˆ
ˆ
ε
,
после чего
2
ˆ
k
σ
определяется как
2
ˆ
k
σ
=
∑
=
T
t
t
T
1
2
ˆ
1
ε
.
Впоследствии было выяснено, что оценка Акаике несостоятельна и асимптотически
переоценивает
(завышает) истинное значение k
0
с ненулевой вероятностью. В связи с этим,
были предложены состоятельные критерии, основанные на минимизации суммы
ln
2
ˆ
k
σ
+ k c
T
,
где
c
T
= O(T
–1
ln T) (т.е. c
T
при T → ∞ имеет тот же порядок малости, что и
T
–1
ln T
).
Одним из таких критериев является часто используемый в настоящее время
информационный критерий Шварца – SIC [Schwarz (1978)],
T
T
k
k
ln
ˆ
lnSIC
2
+=
σ
.
Несколько позднее был предложен
критерий Хеннана – Куинна [Hannan, Quinn (1979)], в
котором c
T
= 2ck T
–1
lnlnT , c > 1,
T
Tc
k
k
lnln2
ˆ
lnHQ
2
+=
σ
,
обладающий более быстрой сходимостью к истинному значению k
0
при T → ∞ . Однако
при небольших значениях T этот критерий недооценивает
порядок авторегрессии.
Пример
Рассмотрим модель процесса AR(2)
X
t
= 1.2 X
t-1
– 0.36 X
t-2
+ ε
t
.
Уравнение a(z) = 0 принимает в этом случае вид
1– 1.2 z + 0.36 z
2
= 0 
   AIC(k ) = ln σˆ k2 + (2 k T )
где T – количество наблюдений, а    σˆ k2 – оценка дисперсии инноваций εt в AR модели k-го
порядка. Для вычисления σˆ k2 производится подбор модели k-го порядка с использованием
уравнений Юла – Уокера
              k
    ρ s = ∑ ak j ρ s − j ,
             j =1

полученные оценки коэффициентов aˆ k j , j = 1, … , k , подставляются вместо ak j в уравнение
модели, µ заменяется на x , так что получаются оценки для εt ,
   εˆt = ∑ aˆ k j (xt − j − x ) ,
             k


             j=0

после чего σˆ k2 определяется как
           1 T 2
   σˆ k2 =    ∑ εˆt .
           T t =1
Впоследствии было выяснено, что оценка Акаике несостоятельна и асимптотически
переоценивает (завышает) истинное значение k0 с ненулевой вероятностью. В связи с этим,
были предложены состоятельные критерии, основанные на минимизации суммы
    ln σˆ k2 + k cT ,
где cT = O(T –1 ln T) (т.е. cT при T → ∞ имеет тот же порядок малости, что и T –1 ln T ).
   Одним из таких критериев является часто используемый в настоящее время
информационный критерий Шварца – SIC [Schwarz (1978)],
                      lnT
   SIC = lnσˆ k2 + k      .
                       T
Несколько позднее был предложен критерий Хеннана – Куинна [Hannan, Quinn (1979)], в
котором cT = 2ck T –1lnlnT , c > 1,
                      2cln ln T
    HQ = lnσˆ k2 + k            ,
                         T
обладающий более быстрой сходимостью к истинному значению k0 при T → ∞ . Однако
при небольших значениях T этот критерий недооценивает порядок авторегрессии.

   Пример
   Рассмотрим модель процесса AR(2)
   Xt = 1.2 Xt-1 – 0.36 Xt-2 + εt .
Уравнение a(z) = 0 принимает в этом случае вид
   1– 1.2 z + 0.36 z2 = 0

Страницы