Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 49 стр.

       (     )
   SIC σ~ p2, q = lnσ~ p2, q + ( p + q)
                                        ln T
                                         T
                                             .

                          (     )
Существенно, что SIC σ~ p2, q – возрастающая функция от p и q , когда p ≥ p0 , q ≥ q0 , что
ведет к состоятельности оценок ( ~           p , q~ ) .


3.2. Оценивание коэффициентов модели

    После того как произведена идентификация (стационарной) модели ARMA, т.е. на
основании имеющихся наблюдений принято решение о значениях p, q в модели ARMA(p,
q), порождающей данные, переходят к этапу оценивания коэффициентов модели. На этом
этапе обычно используется метод максимального правдоподобия, который в конечном счете
сводится к методу наименьших квадратов. За исключением некоторых наиболее простых
случаев (например, модели AR(1)), эта задача решается итерационными методами,
требующими задания некоторых “начальных” (“стартовых”) значений параметров, которые
затем последовательно уточняются.
    В качестве таких начальных значений можно использовать предварительные оценки,
полученные на первом этапе. Такие начальные значения можно найти, приравнивая
неизвестные “истинные” значения автокорреляций ρ(k) значениям r(k) выборочной
автокорреляционной функции и используя функциональную связь между значениями ρ(k) и
значениями коэффициентов модели. Например, если оценивается модель AR(p), то
коэффициенты a1, …, ap определяются из системы первых p уравнений Юла – Уокера
            p
   ρ (k ) = ∑ a j ρ (k − j ), k = 1,K, p ,
           j =1

в которые вместо неизвестных значений ρ(1), …, ρ(p) автокорреляций подставляются
наблюдаемые (вычисляемые по реализации ряда) значения r(1), …, r(p) выборочных
автокорреляций.
   При оценивании моделей с MA(q) составляющей (q > 0) существенным оказывается
условие обратимости, сформулированное в разд. 2.5. Покажем это на примере MA(1) модели
   Xt – µ = εt + bεt–1 , t = 1, … , T .
Имея наблюдаемые значения x1, x2, … , xT , мы последовательно выражаем ε1, ε2, … , εT через
эти значения и (ненаблюдаемое) значение ε0 :
   ε1 = X1 – µ – bε0 ,
   ε2 = X2 – µ – bε1 = X2 – µ – b(X1 – µ – bε0) = (X2 – µ) – b(X1 – µ) + b2 ε0,
     …
   εT = XT – µ – bεT – 1 = (XT – µ) – b(XT – 1– µ) + b2(XT – 2– µ) –
        +(–1)T – 1 b T – 1 (X1 – µ) + (–1)T b T ε0 .