Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 7 стр.

                 n

                ∑y y    t     t −1
         β̂ =   t =2
                   n
                                     .
                 ∑y
                 t =2
                            2
                            t −1


    В отличие от ситуации, когда значения объясняющей переменной фиксированы, теперь
наблюдаемые значения объясняющей переменной сами являются реализациями случайных
величин и выражаются через значения случайных величин ε t :
         x1 = 0 ,
         x2 = y1 = ε 1 ,
         x3 = y2 = β y1 +ε 2 = β ε 1 +ε 2 ,
         x4 = y3 = β y2 +ε 3 = β (β ε 1 +ε 2 ) +ε 3 = β 2ε 1 + β ε 2 +ε 3 ,
            …
         xn = yn – 1 = β n – 2 ε 1 + β n – 3 ε 2 + … +ε n – 1 .
    Это приводит к тому, что на сей раз распределение оценки наименьших квадратов для
параметра β не является нормальным, так что t- и F- статистики, используемые для
статистических выводов в классической нормальной линейной модели, уже не имеют t- и
F-распределений, соответственно.
    Более того, если в действительности в процессе порождения данных β = 1, так что мы
имеем дело с популярной моделью случайного блуждания (выходящего из нуля),
         yt = yt – 1 +ε t , t = 1, 2, …, n , y 0 = 0,
то тогда распределение (центрированной и нормированной) оценки наименьших квадратов
для β не сближается с нормальным даже при неограниченном возрастании количества
наблюдений. Иначе говоря, в такой модели оценка наименьших квадратов для β даже не
является асимптотически нормальной. Впервые на этот факт было указано в работе [White
(1958)], и это открытие привело впоследствии к полному пересмотру методологии
эконометрического анализа статистических данных, представляемых в виде временных
рядов.
     На первый план вышло фундаментальное различие между TS (trend stationary) рядами
(стационарными или стационарными относительно детерминированного тренда) и DS
(difference stationary) рядами, приводящимися к стационарным только в результате
однократного или многократного дифференцирования. Это различие определяется наличием
у DS рядов так называемого стохастического тренда, собственно и приводящего к
неприменимости стандартной асимптотической теории при работе с такими рядами. В
создании и развитии асимптотической теории, учитывающей возможное наличие у
рассматриваемых переменных стохастического тренда, приняло участие большое
количество авторов, среди которых непременно следует упомянуть Dickey D.A., Fuller W.A,
Granger C.W.J., Hansen B.E., Johansen S., Juselius K., Perron P., Phillips P.S.B., Sims C.A., Stock