Электричество. Новиков С.М. - 13 стр.

После подстановки полученных значений и вычисления получаем E = 53,7
кВ/м. Направление вектора напряженности задается углом γ (рис. 1.7.б), кото-
                                     Ey
рый определяется выражением tg γ =      = 0,5 .
                                     Ex
    Для вычисления потенциала поля в заданной точке используем формулу
(1.14). Подставляя в нее полученные выше выражения для r и dl , получим
                        β                         β
                  1       τ ⋅ b ⋅ cosα        τ         1
                 4πε ο ∫ο b ⋅ cos 2 α        4πε ο ∫ο cosα
              φ=                       d α =               dα =

                   τ       ⎡ ⎛ α π ⎞⎤         τ ⎡         ⎛β π⎞         ⎛ π ⎞⎤
              =        ln ⎢ tg ⎜ + ⎟ ⎥ βο =       ⎢ ln tg ⎜ + ⎟ − ln tg ⎜ ⎟ ⎥ .
                 4πε ο ⎣ ⎝ 2 4 ⎠ ⎦          4πε ο ⎣       ⎝2 4⎠         ⎝ 4 ⎠⎦
              ⎛π⎞                 ⎛π⎞
   Так как tg ⎜ ⎟ = 1, то ln tg ⎜ ⎟ = 0. Используя тригонометрические формулы,
              ⎝4⎠                 ⎝4⎠
сделаем преобразования
                               1⎛    π⎞              ⎛     π⎞
                           sin ⎜ β + ⎟      1 − cos ⎜ β + ⎟
             ⎛β π⎞             2⎝    2⎠              ⎝     2⎠   1 + sinβ
          tg ⎜ + ⎟ =                    =                     =           = 3.
             ⎝ 2 4 ⎠ cos 1 ⎛ β + π ⎞                 ⎛     π⎞   1 − sin β
                                ⎜     ⎟     1 + cos ⎜ β + ⎟
                               2⎝    2⎠              ⎝     2⎠
                τ
   Тогда φ =        ln 3 .
              4πε ο
                                 400 ⋅ 10−9 ln 3
   Произведем вычисления φ =                         В = 3960 В.
                             4 ⋅ 3,14 ⋅ 8,85 ⋅ 10−12


    Пример 3
    Бесконечный пустотелый цилиндр радиуса R = 10 см имеет на своей по-
верхности равномерно распределенный заряд. На единицу длины цилиндра при-
ходится электрический заряд τ = 1 нКл/м. Построить график изменения на-
пряженности электрического поля с расстоянием от оси E = E(r) и опреде-
лить разность потенциалов между осью цилиндра и точкой А, находящейся на
расстоянии d = 20 см от оси.

                                   Решение
   Из соображений симметрии очевидно, что вектор напряженности электри-
ческого поля может быть направлен только радиально. Заметим, что напряжен-
ность поля внутри и снаружи цилиндра может иметь различный закон измене-
ния с расстоянием от оси. Поэтому исследуем отдельно область 1 — внутри ци-
линдра и область 2 — снаружи.
   1. Определим напряженность в произвольной точке b, находящейся внутри
цилиндра (рис. 2.1а). Выберем замкнутую поверхность в виде цилиндра, ось ко-