Электричество. Новиков С.М. - 15 стр.

гралов, из которых не нулевым является только интеграл по боковой поверхно-
сти
                            r r
                           ∫ ⋅ dS = ∫ E ⋅ dS = E ∫ dS ,
                            E
                             S          бок          бок
где последний интеграл представляет из себя площадь боковой поверхности
цилиндра SБОК = 2πr .L. Тогда теорема Гаусса принимает вид
                                            1
                                E. 2πr. L =    τ L.
                                            εο

    После преобразований получаем
               τ                              E
         E=             при r > R.
             2πε ο r
    График изменения напряженности
электрического поля с расстоянием от
оси приведен на рис. 2.2. Максималь-
ное значение напряженность поля
принимает при r = R
                      τ
            Emax =          .                         R         d      r
                    2πε ο R                                Рис. 2.2.

   Так как внутри цилиндра поле отсутствует, то разность потенциалов между
осью и заданной точкой A равна разности потенциалов между поверхностью
цилиндра и этой точкой
                                       d          d
                                                      τ            τ        d
                φο − φ A = φ R − φ A = ∫ E ⋅ dr = ∫         dr =       ln r R .
                                       R          R
                                                    2πε ο r      2πε ο
   После подстановки пределов интегрирования получаем
                                     τ     d
                               Δφ =      ln .
                                    2πε ο R
                                 1 ⋅ 10−9 ln 2
   Произведем расчет: Δφ =                         В = 12,5 В .
                           2 ⋅ 3,14 ⋅ 8,85 ⋅ 10−12



   Пример 4
   В соответствии с выводами квантовой теории атом водорода можно
смоделировать в виде положительного ядра ( протона, размерами которого в
данной задаче можно пренебречь) и “облака” отрицательного заряда элек-
трона, объемная плотность которого меняется с расстоянием от ядра по за-
кону
                                  e     ⎛ 2r ⎞
                            ρ = − 3 exp ⎜ − ⎟ ,
                                 πR     ⎝ R⎠