Электричество. Новиков С.М. - 16 стр.

где r — расстояние от центра ядра, R = 0,53.10–10 м (характерный параметр,
называемый радиусом первой боровской орбиты электрона в атоме водорода),
 e = 1,6.10–19 Кл — абсолютная величина заряда электрона. Найти напряжен-
ность электрического поля на расстоянии R от ядра.

                                      Решение
Выберем замкнутую сфериче-                                          r
скую поверхность с центром в                                        E
ядре атома и радиусом, равным
                                                          r
R. Из соображений симметрии                               R
во всех точках этой поверхно-
сти вектор напряженности                             p
электрического поля имеет
одинаковую величину и норма-
лен к поверхности (рис. 2.3).
Поэтому теорема Гаусса для
выбранной поверхности S за-
пишется в виде                                      Рис. 2.3.
                1
       E ∫ dS = Q ,
         S
               εο
где Q — суммарный заряд, находящийся внутри выбранной сферы, т.е. поло-
жительный заряд протона равный e и отрицательный заряд электронного об-
лака Qe. Последний определяется интегрированием плотности заряда электрон-
ного “облака” по внутреннему объему сферы.
 Тогда     Q = e + Qe = e + ∫ ρ ⋅ dV .
                              V
    Учитывая сферическую симметрию элемент объема dV можно представить
в виде dV = 4πr2dr. Тогда
                          R                     R        2r
                                            e        −
                          ∫
                                  2
                      Qe = ρ ⋅ 4πr dr = −
                                              3
                                                4π ∫ e   R r 2 dr
                                                            .
                           0
                                           πR      0
   Для последующих преобразований можно использовать метод интегриро-
вания по частям или воспользоваться математическими справочниками. Пре-
доставим читателям сделать это самостоятельно. В результате получим
               Qe= – e (1 – 5e–2) = –0,323 e , Q = e + Qe = 0,677 e .
   Подставим это значение в теорему Гаусса
                                          1
                                E ∫ dS = 0,677 e ,
                                   S
                                         εο
где интеграл в левой части равен площади поверхности сферы S = 4πR2.
                     1                          1 0,677 e
Тогда      E. 4πR2 =    ⋅0,677 e    или    E=        ⋅      .
                     εο                        4πε ο   R2