Введение в теорию вероятностей. Палий И.А. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СибАДИ | Омск

Составители: 

Рубрика: 

4. АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Рассмотрим произвольное пространство элементарных исходов Ω.
Выделим в нем систему S подмножеств (событий) так, чтобы выполнялись
следующие три условия:
1.
S
∈Ω
.
2. Если
S
A
∈
, то
S
A
∈
.
3. Если
S
A
∈
и
S
B
∈
,то
(
)
SBA
∈
+
,
S
A
B
∈
.
Система S называется алгеброй событий. Алгебра S называется
σ
–алгеброй, когда постулируется, что сумма бесконечного числа событий
принадлежит S, если каждое из слагаемых принадлежит S.
Из условий, определяющих алгебру S, следует также, что ∅
S
∈
,
А\В ∈ S , если A ∈ S, B ∈ S и
∑
=
∈
n
i
i
SA
1
)(
1
SA
i
n
i
∈
=
I
, если A
i
∈ S, i = 1, 2, …,
n.
Действительно, ∅ =
S
∈Ω
(условия 1 и 2); А\В =
S
B
A
∈ (условия 2 и
3); A
1
+ A
2
∈ S
⇒
(A
1
+ A
2
) + A
3
∈ S
⇒
…
⇒
∑
=
∈
n
i
i
SA
1
(условие 3
применяется n − 1 раз).
В случае
σ
–алгебры произведение бесконечного числа событий
принадлежит S, если каждый из сомножителей принадлежит S. Это
вытекает из условия 3, определения
σ
–алгебры и результатов задачи 2.4.8.
Поставим в соответствие каждому событию A ∈ S число p(A),
называемое вероятностью события А, так, чтобы выполнялись три
аксиомы.
1.
S
A
∈∀ : p(A) ≥ 0.
2. p(Ω) = 1.
3. Если события А
1
, А
2
, ..., А
k
попарно несовместны
A
i
A
j
= Ø, i
≠
j, i, j = 1, 2, ..., k, то
p(A
1
+ A
2
+ … + A
k
) =
()
∑
=
k
i
i
Ap
1
.
В случае
σ
–алгебры аксиома 3 распространяется на бесконечную
сумму.

Страницы