Задачи по линейной алгебре и геометрии. Панов А.Н. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

§8. Евклидовы и унитарные пространства
Проверить что следующие векторы попарно ортогональны и дополнить их
до ортогональных базисов:
8.1. (1, −2, 2, −3), (2, −3, 2, 4); 8.2. (1, 1, 1, −2), (1, 2, 3, 3).
Дополнить следующие системы до ортонормированных базисов:
8.3. (
2
3
,
1
3
,
2
3
), (
1
3
,
2
3
, −
2
3
); 8.4. (
1
2
,
1
2
,
1
2
,
1
2
), (
1
2
,
1
2
, −
1
2
, −
1
2
).
Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис в
подпространстве, натянутом на следующие векторы:
8.5. (1, 2, 2, −1), (1, 1, −5, 3), (3, 2, 8, −7).
8.6. (1, 1, −1, −2), (5, 8, −2, −3), (3, 9, 3, 8).
8.7. (2, 1, 3, −1), (7, 4, 3, −3), (1, 1, −6, 0), (5, 7, 7, 8).
Разложить вектор x в виде x = y + z, где y лежит в под пространстве
L, а z в ортогональном дополнении к L:
8.8. x = (4, −1, −3, 4), L натянуто на векторы a
1
= (1, 1, 1, 1), a
2
=
(1, 2, 2, −1), a
3
= (1, 0, 0, 3).
8.9. x = (5, 2, −2, 2), L натянуто на векторы a
1
= (2, 1, 1, −1), a
2
=
(1, 1, 3, 0), a
3
= (1, 2, 8, 1).
8.10. x = (7, −4, −1, 2), L – пространство решений системы уравнений
2x
1
+ x
2
+ x
3
+ 3x
4
= 0
3x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
+ x
4
= 0
x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
− 9x
4
= 0
§9. Сопряженный оператор
9.1. Пусть e
1
, e
2
– ортонормированный базис и линейный оператор φ имеет
в базисе f
1
= e
1
, f
2
= e
1
+e
2
матрицу
1 2
1 −1
. Найти матриц линейного
оператора φ
∗
в том же базисе f
1
, f
2
.
9.2. Линейный оператор φ имеет в базисе f
1
= (1, 2, 1), f
2
= (1, 1, 2),
f
3
= (1, 1, 0) матрицу
1 1 3
0 5 −1
2 7 −3
.
Найти матрицу сопряженного оператора в том же базисе, если координаты
векторов базиса даны в некотором ортонормированном базисе.
10

Страницы