Задачи по линейной алгебре и геометрии. Панов А.Н. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

§10. Самосопряженные операторы
10.1. Найти диагональную форму и ортонормированный базис из соб-
ственных векторов для самосопряженного оператора, заданного в орто-
нормированном базисе матрицей:
a)
−2 3
3 6
, b)
1 2 −2
2 1 −7
−2 −7 1
, c)
−1 2 −3
2 2 −6
−3 −6 7
d)
0
√
2 −
√
2
√
2 −
1
2
−
7
2
−
√
2 −
7
2
−
1
2
, e)
4 −1 2
−1 4 −2
2 −2 7
, f)
−2 1 4
1 −2 4
4 4 13
,
g)
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
, h)
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
k)
3 2 + 2i
2 − 2i 1
, m)
3 −i
i 3
, n)
3 2 −i
2 + i 7
.
10.2. a) Доказать, что оператор φ(f) = (x
2
−1)f
00
+ 2xf
0
является само-
сопряженным оператором в евклидовом пространстве вещественных мно-
гочленов относительно скалярного произведения (f, g) =
R
+1
−1
f(x)g(x)dx.
b) Доказать, что многочлены Л ежандра Q
k
(x) =
d
k
dx
k
(x
2
− 1)
k
составляют
ортогональный базис из собственных векторов оператора φ. Найти соб-
ственные значения для Q
k
(x).
§11. Ортогональные и унитарные операторы
11.1. Найти ортонормированный базис из собственный векторов для уни-
тарных операторов, заданных матрицами:
a)
cos α −sin α
sin α cos α
(α 6= kπ), b)
1
√
3
1 + i 1
−1 1 −i
.
11.2. Найти каноническую матрицу и канонический канонический базис
ортогонального оператора, заданного в некотором ортонормированном ба-
12

Страницы