Задачи по линейной алгебре и геометрии. Панов А.Н. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

9.3. Найти матрицу линейного оператора φ
∗
в ортонормированном базисе
e
1
, e
2
, e
3
, если оператор φ переводит векторы a
1
= (0, 0, 1), a
2
= (0, 1, 1),
a
3
= (1, 1, 1) в b
1
= (1, 2, 1), b
2
= (3, 1, 2), b
3
= (7, −1, 4). Координаты всех
векторов даны в базисе e
1
, e
2
, e
3
.
9.4. Найти матрицу сопряженного оператора φ
∗
в R
3
для скалярного про-
изведения f(x, y) и линейного оператора φ, заданного матрицей A:
a) f(x, y) = x
1
y
1
+5x
2
y
2
+6x
3
y
3
+2x
1
y
3
+2x
3
y
1
+3x
2
y
3
+3x
3
y
2
,
0 1 −2
2 0 −1
3 −2 0
.
b) f(x, y) = 2x
1
y
1
+ 3x
2
y
2
+ x
3
y
3
+ 2x
1
y
2
+ 2x
2
y
1
+ x
1
y
3
+ x
3
y
1
+ x
2
y
3
+ x
3
y
2
,
2 1 1
−1 −3 1
1 2 −1
.
9.5. Даны два вектора a и b в унитарном(евклидовом) пространстве. Най-
ти сопряженный оператор к линейному оператору φ(x) = (x, a)b.
9.6. Найти сопряженный оператор к линейному оператору φ(x) = [x, a] в
пространстве геометрических векторов.
9.7. Пусть xOy декартова система координат на плоскости и φ проекти-
рование на ось 0x параллельно биссектрисе первой и третьей четверти.
Найти сопряженный оператор φ
∗
.
9.8. Путь V пространство вещественных многочленов со скалярным про-
изведением (f, g) =
P
1
i!
a
i
b
i
, f(x) =
P
a
i
x
i
и g(x) =
P
b
i
x
i
. Доказать, что
сопряженный оператор к оператору дифференцирования в V совпадает с
оператором умножения на x. Найти сопряженный оператор к дифферен-
циальному оператору ψ(f) = x
3
f
00
.
9.9. Пусть V пространство финитных функций на R ( финитная функция
– бесконечно дифференцируемая функция, равная нулю вне некоторого
отрезка) со скалярным произведением (f, g) =
R
+∞
−∞
f(x)g(x)dx. Найти со-
пряженный оператор к оператору дифференцирования D(f) = f
0
. Найти
сопряженный оператор к дифференциальному оператору ψ(f) = x
3
f
00
.
9.10. Пусть V евклидово пространство вещественных n × n-матриц со
скалярным произведением (X, Y ) = TrXY
t
(см. задачу 7.11). Найти со-
пряженный оператор к оператору умножения φ(X) = AX на некоторую
матрицу A.
11

Страницы