Задачи по линейной алгебре и геометрии. Панов А.Н. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

зисе матрицей:
a)
1
3
2 2 −1
2 −1 2
−1 2 2
, b)
1
3
2 −1 2
2 2 −1
−1 2 2
, c)
1
3
−2 1 −2
2 2 −1
−1 2 2
d)
1
2
1 −
√
2 −1
1
√
2 −1
√
2 0
√
2
, e)
1
2
−1
√
2 1
1
√
2 −1
√
2 0
√
2
f)
1
4
3 1 −
√
6
1 3
√
6
√
6 −
√
6 2
,
g)
1
4
−3 −1
√
6
1 3
√
6
√
6 −
√
6 2
, h)
1
2
1 1 −
√
2
1 1
√
2
√
2 −
√
2 0
, i)
1
2
−1 −1
√
2
1 1
√
2
√
2 −
√
2 0
11.3. Доказать. что, a) если A кососимметрическая (т.е. A
t
= −A) веще-
ственная матрица, то exp A – ортогональная матрица, b) если B косоэр-
митова (т.е. B
∗
= −B) матрица, то exp B унитарная матрица.
11.4. Доказать, что унитарные(ортогональные) матрицы образуют группу
относительно умножения.
11.5. a) Доказать, что для любой ортогональной матрицы R с определи-
телем равным 1 существует кососимметрическая вещественная матрица A
такая, что R = exp A. Найти матрицу A для R из задачи 11.2(b).
b) Доказать, что для любой унитарной матрицы U с существует косоэр-
митова матрица такая, что U = exp B. Найти матрицу B для U из задачи
11.1(b).
§12. Классификация кривых и поверхностей второго порядка
12.1. Определить тип кривой:
(1) 9x
2
+ 16y
2
− 54x + 64y + 1 = 0, (2) 4x
2
− y
2
− 16x − 6y + 3 = 0,
(3) 3x
2
− 12x − 6y + 11 = 0, (4) 25x
2
+ 9y
2
− 100x + 54y − 44 = 0,
(5) 4x
2
− y
2
− 16x + 6y + 23 = 0, (6) 3x
2
+ 12x + 16y − 12 = 0, (7)
9x
2
− 4y
2
+ 36x − 16y + 20 = 0, (8) x
2
+ x − 6 = 0.
12.2.Линия второго порядка определяется уравнением x
2
−2y+λ(y
2
−2x) =
0. Определить тип линии при изменении параметра λ и найти ее располо-
жение относительно данной системы координат.
12.3. Определить тип кривой, найти её каноническое уравнение и найти
каноническую систему координат:
13

Страницы