Задачи по линейной алгебре и геометрии. Панов А.Н. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

a)
1 −1 1
−2 −1 3
0 4 5
, x = (1, 0, 3), y = (−1, 2, −4).
b)
i 1 + i 0
−1 + i 0 2 − i
2 + i 3 − i −1
, x = (1 + i, 1 − i, 1), y = (−2 + i, −i, 3 + 2i).
7.3. Найти симметрическую билинейную форму, ассоциированную с квад-
ратичной формой:
a) x
2
1
+ 2x
2
− x
2
3
+ 2x
1
x
2
− 6x
1
x
3
+ 4x
2
x
3
,
b) x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
2
x
3
.
7.4. Найти симметрическую билинейную форму, ассоциированную с квад-
ратичной формой f(x, x), если
a) f(x, y) = 2x
1
y
1
− 3x
1
y
2
− 4x
1
y
3
+ x
2
y
1
− 5x
2
y
3
+ x
3
y
3
,
b) f(x, y) = −x
1
y
2
+ x
2
y
1
− 2x
2
y
2
+ 3x
2
y
3
− x
3
y
1
+ x
3
y
3
.
Найти нормальный вид в поле вещественных чисел и невырожденное
преобразование приводящее к этому виду для следующих квадратичных
форм:
7.5. 4x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
− 4x
1
x
2
+ 4x
1
x
3
− 3x
2
x
3
.
7.6. x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
2
x
3
.
7.7. 2x
2
1
+ 18x
2
2
+ 8x
2
3
− 12x
1
x
2
+ 8x
1
x
3
− 27x
2
x
3
.
7.8. x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
4
+ x
4
x
1
.
Найти все значений λ, для которых следующие квадратичные формы
положительно определены:
7.9. 5x
2
1
+ x
2
2
+ λx
2
3
+ 4x
1
x
2
− 2x
1
x
3
− 2x
2
x
3
.
7.10. 2x
1
+ x
2
2
+ 3x
2
3
+ 2λx
1
x
2
+ 2x
1
x
3
.
7.11. Доказать, что f(X, Y ) = TrXY
t
– симметрическая положительно
определённая билинейная форма на линейном пространстве Mat(n, R).
7.12. Доказать, что f(X, Y ) = TrXY – симметрическая билинейная фор-
ма на линейном пространстве Mat(n, R). Найти положительный и отрица-
тельный индексы инерции квадратичной формы f(X, X).
Доказать, что следующие квадратичные формы положительно опреде-
лены:
7.13.
P
n
i=1
x
2
i
+
P
n
i<j
x
i
x
j
.
7.14.
P
n
i=1
x
2
i
−
P
n−1
i=1
x
i
x
i+1
.
9

Страницы